Quiz

Pytanie 1 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$.

Pytanie 2 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$5$ i $10$ są liczbami względnie pierwszymi.

$0$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

$2$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

$2$ i $3$ są liczbami względnie pierwszymi.

$1$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

Pytanie 3 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 4 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami drzewa.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli posiada korzeń.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|-1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli jest spójny i $|V|=|E|-1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i jeżeli $x,y \in V$ oraz $\{x,y\} \notin E$, to dodanie do $G$ krawędzi $\{x,y\}$ spowoduje powstanie grafu $G'$ zawierającego dokładnie jeden cykl.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|+1$.

Pytanie 5 z 30

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami, postaci $a_{n+1} + c a_n = f(n)$ jest dane wzorem: $a_n = a_0 d^n$ gdzie $d_0$ i $d$ oznaczają pewne stałe, $n \in \mathbb{N}$.

Wyznaczenie wzoru jawnego jest możliwe dla ciągów liczbowych opisanych jedynie zależnościami rekurencyjnymi jednorodnymi.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami, ma postać $ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ lub $a_n = c_1 r_1^n + c_2 n r^n$ w zależności od liczby różnych pierwiastków równania charakterystycznego.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} + c_{n-3} a_{n-3} = 0$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}, c_{n-3}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-3} \neq 0$, jest liniową zależnością rekurencyjną jednorodną rzędu trzeciego i może być rozwiązana za pomocą równania charakterystycznego stopnia trzeciego.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach, ma postać $a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n$ gdzie $x_1$ i $x_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Pytanie 6 z 30

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$.

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$.

W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$.

Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$.

Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$.

Pytanie 7 z 30

Niech $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Jeżeli $x = y + z$ dla pewnych $x, y, z \in \mathbb{Z}$ oraz $a$ dzieli dwie z trzech liczb $x, y, z$, to $a$ dzieli również trzecią z tych liczb.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow (bx + cy)|a$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow a|(bx + cy)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

$a|b \Rightarrow a|x^b$ dla każdego $x \in \mathbb{Z}$.

$[(a|b) \land (b|c)] \Rightarrow c|a$.

Pytanie 8 z 30

Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory.

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

Pytanie 9 z 30

Niech $p$ i $q$ będą zdaniami logicznymi prostymi, $T_0$ niech będzie dowolną tautologią, a $F_0$ dowolnym zdaniem sprzecznym. Wśród poniższych par zdań wskaż zdania logicznie równoważne.

$p \land T_0, \neg p$

$p \rightarrow q, \neg p \lor q$

$p \land F_0, F_0$

$p \land F_0, p$

$p \lor T_0, p$

Pytanie 10 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow (N^+(x) = N^+(y) \land N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset)$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) = N^+(y)$.

Pytanie 11 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $d$ etykiet o długości $k$.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ wierzchołków.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $d^k$ wierzchołków.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $k$ etykiet o długości $d$.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ łuków.

Pytanie 12 z 30

Zaznacz zdania prawdziwe.

Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$.

Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$

Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów.

Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 13 z 30

Zaznacz zdania prawdziwe:

W pierwszej zasadzie indukcji matematycznej z prawdziwości warunku początkowego lub kroku indukcyjnego wynika prawdziwość hipotezy indukcyjnej.

Druga zasada indukcji matematycznej jest wykorzystywana do dowodzenia twierdzeń postaci: $\forall_{n \in \mathbb{Z}^+} S(n)$, takich że zdanie $S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \in \mathbb{Z}^+$.

Jeśli w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystuje się założenie o prawdziwości tylko jednego ze zdań $S(x)$ poprzedzających zdanie $S(k+1)$, $x \leq k$, to w pierwszej zasadzie twierdzenia wystarczy pierwsza zasada indukcji matematycznej.

Druga zasada indukcji matematycznej dla dowolnych $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$, $n_0 \leq n_1$, ma postać: $[[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \land [\forall_{k \geq n_0} [[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)]]] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Druga zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$, $n_1 \geq 1$ ma postać: $\left[ \forall_{k \geq n_1} [[ S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k) ] \Rightarrow S(k+1)] \land [S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \right] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Pytanie 14 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich obiektów:

Językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest zbiór potęgowy zbioru $\Sigma$.

Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$.

Słowem danego alfabetu $\Sigma$ jest dowolny skończony ciąg liter zbioru $\Sigma$, który zawiera co najwyżej jedno wystąpienie każdego z elementów zbioru $\Sigma$.

Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to językiem nad alfabetem $\Sigma$ jest $\Sigma^* \times \Sigma^*$.

Jeżeli przez $\Sigma^*$ oznaczymy zbiór wszystkich słów zbudowanych z liter alfabetu $\Sigma$, to dowolny podzbiór zbioru $\Sigma^*$ jest językiem nad alfabetem $\Sigma$.

Pytanie 15 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$.

Pytanie 16 z 30

Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru:

dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych.

liczb całkowitych.

liczb naturalnych.

liczb rzeczywistych dodatnich.

liczb rzeczywistych.

Pytanie 17 z 30

Każdy sposób wrzucenia 4 identycznych elementów do 5 rozróżnialnych pudełek jest przykładem:

5-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

Pytanie 18 z 30

Jeśli zbiór 12 elementowy zostanie podzielony w dowolny sposób na 3 niepuste rozłączne podzbiory, to

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy.

co najwyżej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

co najmniej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

podzbiory są równoliczne.

Pytanie 19 z 30

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$.

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Pytanie 20 z 30

Wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Pytanie 21 z 30

Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów.

$\overline{A \cup B} = \overline{A \cap B}$

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

Pytanie 22 z 30

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 23 z 30

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ będących podzbiorami zbioru 18-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie 3 podzbiorów wynosi:

dokładnie 9.

co najmniej 9.

co najwyżej 9.

nie może być określona.

dokładnie 3.

Pytanie 24 z 30

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany.

Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności.

Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany.

Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy.

Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych.

Pytanie 25 z 30

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, na_{n} + 3a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością:

która nie może być rozwiązywana metodą równania charakterystycznego.

nieliniową.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

niejednorodną.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

Pytanie 26 z 30

Do 6 rozróżnialnych pudełek wrzucane są w dowolny sposób 4 rozróżnialne elementy. Każdy sposób wrzucenia elementów do pudełek jest przykładem:

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

6-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

6-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

Pytanie 27 z 30

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Prawo sumy (pozwalające na wyznaczenie liczności sumy dwóch zbiorów) nie jest równoważne zasadzie włączania i wyłączania (pozwalającej na wyznaczenie liczności sumy zbiorów $A_1, \dots, A_n$ dla $n=2$.

Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia (części wspólne) zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć parzystej liczby zbiorów.

Zasada włączania i wyłączania, mówi, że aby wyznaczyć liczbę elementów zbioru $A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n$, należy zanalizować wszystkie możliwe przecięcia zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ i dodać liczność przecięć parzystej liczby zbiorów oraz odjąć liczność przecięć nieparzystej liczby zbiorów.

Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa sumy umożliwiającym obliczenie liczności części wspólnej zbiorów, bez konieczności wyznaczania elementów należących do tej części wspólnej.

Zasada włączania i wyłączania ma postać: $\left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| + \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$

Pytanie 28 z 30

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_n + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością:

nieliniową.

niejednorodną.

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

Pytanie 29 z 30

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dowód pierwszej zasady indukcji matematycznej nie dowodzi poprawności drugiej zasady indukcji matematycznej, ponieważ jest ona inaczej sformułowana.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego ze zdań poprzedzających.

Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej są sobie równoważne tylko dla pewnego rodzaju twierdzeń.

Drugą zasadę indukcji matematycznej można zastosować do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb całkowitych dodatnich, w których prawdziwość zdania $S(n)$ dla $n=k+1$ wynika z prawdziwości kilku zdań poprzedzających.

Pytanie 30 z 30

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$.

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

Losowa kolejność Reset Start

Korzystanie z serwisu wiąże się z akceptacją regulaminu