Quiz

Pytanie 1 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) s(n-1, k-1)$ (gdzie $n > k > 0$).

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_{n}$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{(n+1)}$.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle \left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle \right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \dots, k, k\}$ zawierających $n$ wniesień.

Pytanie 2 z 40

Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów jest formułą składającą się z:

8 składników.

nieznanej liczby składników, ponieważ ich liczba zależy od liczności tych zbiorów.

16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym.

15 składników.

4 składników, ponieważ są 4 zbiory.

Pytanie 3 z 40

Niech $G=(V,E)$ będzie grafem nieskierowanym bez wierzchołków izolowanych. Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu nieparzystym.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu parzystym.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma nieparzysty stopień.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

$G$ zawiera obwód Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

Pytanie 4 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ ma postać $a_n = x_1 r_1^n + x_2 r_2^n$.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} = 1$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-2} \neq 0$, może być rozwiązana za pomocą metody równania charakterystycznego.

Rozwiązanie zależności rekurencyjnej polega na wyznaczeniu wartości liczbowej elementu ciągu występującego po elementach początkowych.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + c a_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = a_0 b^n$, gdzie $b = -c$, a $c$ oznacza pewną stałą i nie $\in \mathbb{N}$.

Każda zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_{n-k} a_{n-k} = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n-k, \ldots, n$ są zupełnie dowolnymi stałymi rzeczywistymi, jest liniową zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego.

Pytanie 5 z 40

Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów.

$A \cup (A \cap B) = A$

$(A \cap B) \cap C = A \cup (B \cap C)$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$A \cap (A \cup B) = \overline{A}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

Pytanie 6 z 40

Obiekty kombinatoryczne $B, A, C$ i $C, A, B$ utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D\}$ i są identyczne (nie można ich odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

3-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

3-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

3-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

podziału zbioru na dwa podzbiory.

3-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

Pytanie 7 z 40

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$.

Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Pytanie 8 z 40

Zaznacz funkcję tworzącą, która $\textbf{może być}$ wielomianem szachowym $\textbf{dopełnienia}$ podanej szachownicy $B$:

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 25x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

Pytanie 9 z 40

Wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ i $Q$ mają przeciwne wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym.

Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną fałszu zawsze wtedy, gdy zdanie $P$ ma wartość logiczną fałszu.

Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $Q$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $P$ ma wartość logiczną prawdy.

Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli mają takie same wartości logiczne dla wszystkich możliwych sposobów przypisania wartości logicznych ich zmiennym zdaniowym.

Zdania złożone $P \text{ i } Q$ są zdaniami logicznie równoważnymi, jeżeli $P$ ma wartość logiczną prawdy zawsze wtedy, gdy $Q$ ma wartość logiczną prawdy.

Pytanie 10 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany.

Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany.

Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności.

Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy.

Pytanie 11 z 40

Wybierz wszystkie poprawne:

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 12 z 40

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4$ będących podzbiorami zbioru 8-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do co najmniej 3 podzbiorów wynosi:

co najmniej 8.

dokładnie 6.

co najwyżej 6.

co najmniej 6.

co najwyżej 3.

Pytanie 13 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe:

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_B(x) = r_C(x) + r_D(x)$.

Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $x \times x$.

Jeśli w wielomianie szachowym $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$ dla szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$ współczynnik $r_n = 0$, to na szachownicy $B$ nie można rozmieścić $n$ wzajemnie nieatakujących się wież.

Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary niemające wspólnych wierszy ani kolumn.

Pytanie 14 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe.

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \dots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \dots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k}{n_i=n!}$.

Liczba $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $k$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Pytanie 15 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga pokazania, że dla pewnej konkretnej wartości $k \geq n_0$ zachodzi implikacja $[S(n_0) \land ... \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$.

Dowód warunku początkowego w drugiej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości pewnych zdań $S(n)$ dla dowolnych elementów $n$, takich że $n_0 \leq n \leq n_1$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

W zasadzie silnej indukcji matematycznej warunek początkowy ma postać $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(n_1)$, gdzie $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$ i $n_0 \leq n_1$, a $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje liczba całkowita dodatnia $n$.

Pytanie 16 z 40

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ wierzchołków.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ łuków.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $d$ etykiet o długości $k$.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $k$ etykiet o długości $d$.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $d^k$ wierzchołków.

Pytanie 17 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o jednym pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie wartości stałych $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + ca_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = ca_0^n$, gdzie $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Rozwiązanie problemu wież z Hanoi, $T_n = 2T_{n-1} + 1, n > 0, T_0 = 0$, jest przykładem niejednorodnej liniowej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami.

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $rc^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \dots + c_k a_k = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n, \dots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_n \neq 0$ i $c_k \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Pytanie 18 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowaną z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają nazywamy kwadratem łacińskim.

Dla $n$ będącego liczbą pierwszą istnieje dokładnie $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla $n$ będącego potęgą liczby pierwszej co najmniej $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$.

Rozszerzalny prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n-q)$ wierszy, a następnie $(n-p)$ kolumn.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ ($p \leq n$, $q < n$) do kwadratu $n \times n$ nie jest możliwe, jeśli dla pewnego elementu $l$ ($1 \leq l \leq n$) liczba jego wystąpień w prostokącie $l(l)$ jest mniejsza od $p + q - n$.

Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej.

Pytanie 19 z 40

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Grafu niespójnego nie można zaetykietować.

Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności.

Pytanie 20 z 40

Poprawna zasada włączania i wyłączania dla 3 dowolnych zbiorów ma postać:

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cup A_2| - |A_1 \cup A_3| - |A_2 \cup A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$

$|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot |A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$

Pytanie 21 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C, D$, to wówczas $r(x) = r(C) + x r(D)$.

Każda linia pozioma dzieli dowolną szachownicę $B$ na dwa niezależne obszary, niemające wspólnych wierszy ani kolumn.

Wielomian szachowy dla obszaru $B$ o wymiarze $n \times n$, postaci $r(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + \dots + r_n x^n$, nie zawiera niezerowych współczynników $r_k$ dla $k > n$, ponieważ nie można ustawić więcej niż $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$.

Dla dowolnej szachownicy $B$, wartość współczynnika $r_1$ jest równa liczbie zabronionych pól obszaru $B$.

W oparciu o wielomian szachowy obszaru $B$ można wyznaczyć wszystkie współczynniki wielomianu szachowego dla dopełnienia tego obszaru $\overline{B}$.

Pytanie 22 z 40

Wybierz wszystkie poprawne:

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla żadnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, nie można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{r}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma nie może być ani mniejsza, ani większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla pewnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Pytanie 23 z 40

Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

Graf nieskierowany $G = (V, E)$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy posiada drzewo rozpinające.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieje dokładnie jedna ścieżka.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieją co najmniej dwie ścieżki.

Drzewo $G = (V, E)$ takie, że $|V| \geq 2$, ma co najmniej trzy wierzchołki o stopniu równym 1.

Dla każdego drzewa $G = (V, E)$ zachodzi $|V| = |E| - 1$.

Pytanie 24 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe:

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi.

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

Pytanie 25 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Liczby Fibonacciego są przykładem zależności rekurencyjnej rzędu drugiego niejednorodnej.

Za pomocą liczb Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, k)$, $k = 0, 1, \dots, n$, można obliczyć wartość funkcji $n!$.

Liczby Eulera związane są z liczbą $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego.

Ciąg liczb harmonicznych jest zbudowany z liczb całkowitych.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju związane są ze zliczaniem $k$-elementowych permutacji ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 26 z 40

Dany jest poniższy prostokąt łaciński $L$ ze zbioru $\{1,6\}$. Zaznacz kolumnę, której $\textbf{nie można}$ dopisać do tego prostokąta, jeśli ma być nadal rozszerzalny do kwadratu łacińskiego $6 \times 6$: $L =\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 & 6 \\4 & 5 & 3 & 1 \\3 & 4 & 6 & 2 \\5 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}$

$\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}5 \\2 \\1 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}1 \\2 \\5 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}1 \\6 \\5 \\2\end{matrix}$

$\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\2\end{matrix}$

Pytanie 27 z 40

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$.

Pytanie 28 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga drugiego rodzaju $S(n,n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywany przez nią podział jest niemożliwy.

Liczby Eulera pierwszego rzędu $\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle$ oznaczają liczbę $n$-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wzniesień.

Liczby harmoniczne $H_n$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ i tworzą ciąg liczbowy rosnący logarytmicznie wolno dla $n \to \infty$.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$-niepustych podzbiorów są nie mniejsze niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Twierdzenie Zeckendorfa stwierdza, iż każda liczba całkowita dodatnia $n$ może być jednoznacznie przedstawiona w postaci iloczynu pewnych liczb Fibonacciego i zapisana w postaci odpowiedniego ciągu zer i jedynek.

Pytanie 29 z 40

Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1}+3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością rekurencyjną liniową ze stałymi współczynnikami:

rzędu trzeciego niejednorodną,

rzędu $(n+1)$-szego jednorodną.

rzędu drugiego niejednorodną,

rzędu trzeciego jednorodną,

rzędu drugiego jednorodną,

Pytanie 30 z 40

Jeśli zbiór 12 elementowy zostanie podzielony w dowolny sposób na 3 niepuste rozłączne podzbiory, to

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy.

co najmniej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

podzbiory są równoliczne.

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

co najwyżej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

Pytanie 31 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$.

Pierwsza zasada indukcji może być podana dla dowolnego elementu $n_0$, od którego rozpoczyna się proces indukcyjny i przyjmuje wówczas postać $[S(n_0) \land (S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n \geq n_{0}} S(n)$.

Dowód warunku początkowego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości zdania $S(n)$ dla dowolnego elementu $n \geq n_0$.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej może być sformułowana następująco $[S(1) \land (\forall_{k\geq 1} S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n\geq1} S(n)$, gdzie $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje pewna liczba całkowita dodatnia $n$.

Pytanie 32 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Kombinacja $k$-elementowa z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego, to $k$-elementowy podzbiór elementów tego zbioru, w którym kolejność elementów nie jest istotna.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako permutacja z powtórzeniami dwóch różnych symboli powtarzających się odpowiednio $n$ i $k$ razy.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{k + n - 1}{n}$ gdzie $k < n$.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być interpretowana jako rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako $k$-elementowa permutacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 33 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe:

Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $|S|/k$.

Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru.

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $|S|/k$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$.

„Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach.

Pytanie 34 z 40

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$.

W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$.

Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$.

Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$.

Pytanie 35 z 40

Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru:

liczb rzeczywistych.

liczb naturalnych.

dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych.

liczb rzeczywistych dodatnich.

liczb całkowitych.

Pytanie 36 z 40

Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n} + 3a_{n-4} = 2 $ dla $ n \geq 4 $ jest zależnością rekurencyjną:

którą można rozwiązać za pomocą metody równania charakterystycznego.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną.

Pytanie 37 z 40

Zaznacz zdania prawdziwe:

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach.

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$.

Pytanie 38 z 40

Wskaż definicję relacji równoważności:

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest spójną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Pytanie 39 z 40

Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów.

$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$

$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A \cap B}$

Pytanie 40 z 40

Niech $H$ będzie grafem sprzężonym pewnego grafu $G$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje obwód Eulera.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje cykl Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje droga Eulera.

Losowa kolejność Reset Start

Korzystanie z serwisu wiąże się z akceptacją regulaminu