Quiz

Pytanie 1 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$.

Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Pytanie 2 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Pytanie 3 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to co najwyżej jeden z tych podzbiorów zawiera $\lceil \frac{|S|}{k} \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do co najmniej $p$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi co najmniej $\frac{p |S|}{k}$.

Z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do dokładnie $t$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi dokładnie $\frac{k |S|}{t}$.

„Klasyczna” zasada szufladkowa dotyczy podziału zbioru $S$ na dwa zbiory, a uogólniona zasada szufladkowa dotyczy podziału na dowolną liczbę zbiorów.

Zasada szufladkowa Dirichleta wynika z obserwacji, że jeśli $m$ przedmiotów umieszcza się w zupełnie dowolny sposób w $n$ szufladkach i $m > n$, to żadna szufladka nie będzie pusta.

Pytanie 4 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Druga zasada indukcji matematycznej dla dowolnych $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$, $n_0 \leq n_1$, ma postać: $[[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \land [\forall_{k \geq n_0} [[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)]]] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Druga zasada indukcji matematycznej jest wykorzystywana do dowodzenia twierdzeń postaci: $\forall_{n \in \mathbb{Z}^+} S(n)$, takich że zdanie $S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \in \mathbb{Z}^+$.

W pierwszej zasadzie indukcji matematycznej z prawdziwości warunku początkowego lub kroku indukcyjnego wynika prawdziwość hipotezy indukcyjnej.

Jeśli w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystuje się założenie o prawdziwości tylko jednego ze zdań $S(x)$ poprzedzających zdanie $S(k+1)$, $x \leq k$, to w pierwszej zasadzie twierdzenia wystarczy pierwsza zasada indukcji matematycznej.

Druga zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$, $n_1 \geq 1$ ma postać: $\left[ \forall_{k \geq n_1} [[ S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k) ] \Rightarrow S(k+1)] \land [S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \right] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Pytanie 5 z 50

Wybierz wszystkie poprawne:

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 6 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i$ i $c_j$ i równocześnie nie spełniających pozostałych warunków $c_k$, $(1 \leq i, j, k \leq t, k \neq i, k \neq j)$.

Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$.

Dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$, liczba elementów, które nie spełniają żadnego z tych warunków wynosi: $N(\overline{c_1} \overline{c_2} ... \overline{c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i c_j c_k) + \dots + (-1)^t N(c_1 c_2 ... c_t)$.

Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$.

Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości.

Pytanie 7 z 50

Obiekty $|A, C, D|$ i $|B, E, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie jest istotna. Obiekty te są przykładem:

dwóch 3-elementowych permutacji z powtórzeniami, w których poszczególne elementy występują tylko jeden raz.

dwóch 3-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$, ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie.

podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory.

dwóch 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

Pytanie 8 z 50

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 2$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 1$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 1$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = \sqrt{2}$.d

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 0$.

Pytanie 9 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wymaga zastosowania zwykłej zasady szufladkowej.

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to dokładnie jeden z tych zbiorów zawiera $\lceil |S|/k \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa minimalną wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących podzbiorami skończonego zbioru $S$, takimi że każdy element zbioru $S$ należy do co najmniej 1 spośród zbiorów $A_i$ ($1 \leq |S|/k$).

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to liczność tych wszystkich zbiorów wynosi co najmniej $\lfloor |S|/k \rfloor$.

Uogólniona zasada szufladkowa sprowadza się do „klasycznej” zasady szufladkowej, gdy każdy z elementów analizowanego zbioru $S$ należy do co najmniej jednego podzbioru spośród $A_1, \dots, A_k$.

Pytanie 10 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze.

Rozszerzanie prostokąta łacińskiego $p \times n$ o jeden wiersz wymaga wyznaczenia dowolnego systemu różnych reprezentantów rodziny zbiorów $\{A_1, \dots, A_n\}$, gdzie zbiór $A_i$ zawiera elementy dotychczas niewystępujące w kolumnie $i$ ($1 \leq i \leq n$).

Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$.

Rozszerzając prostokąt łaciński $p \times q$, do kwadratu $n \times n$ należy w nowej kolumnie umieścić wszystkie elementy $i = 1, \dots, n$, dla których liczba wystąpień spełnia warunek $L(i) > p + q - n$.

Pytanie 11 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $|S|/k$ elementów lub więcej.

Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$.

„Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach.

Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $|S|/k$.

Pytanie 12 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Wyrażenia postaci $x(n, n) = 1, n \geq 0$ oraz $x(n, 0) = 0, n > 0$ są składnikami definicji rekurencyjnej liczb Stirlinga zarówno pierwszego ($x = s$), jak i drugiego rodzaju ($x = S$).

Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywane przez nią rozmieszczenie obiektów w cyklach jest niemożliwe.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę dowolnych permutacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wniesień takich, że pomiędzy poszczególnymi wystąpieniami pewnej liczby znajdują się tylko liczby większe od niej.

Liczby harmoniczne drugiego rzędu $H_n^{(2)}$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$.

W oparciu o twierdzenie Zeckendorfa można stworzyć system liczbowy, w którym dowolna liczba rzeczywista dodatnia może być przedstawiona jako $\sum_{k=0}^{m} b_k F_k$, gdzie $b_k \in \{0,1\}$, a $F_k$ oznacza liczbę Fibonacciego.

Pytanie 13 z 50

Wybierz wszystkie poprawne:

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest $out(x)$.

Pytanie 14 z 50

Do 6 rozróżnialnych pudełek wrzucane są w dowolny sposób 4 rozróżnialne elementy. Każdy sposób wrzucenia elementów do pudełek jest przykładem:

6-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

6-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

Pytanie 15 z 50

3 identyczne elementy mogą być wrzucone w dowolny sposób do 6 rozróżnialnych pudełek na

$\frac{6!}{3!}$ sposobów.

$3^6$ sposobów.

$\binom{6}{3}$ sposobów.

$6^3$ sposobów.

$\binom{6+3-1}{3}$ sposobów.

Pytanie 16 z 50

Wybierz wszystkie poprawne:

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla pewnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma nie może być ani mniejsza, ani większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla żadnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, nie można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{r}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Pytanie 17 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_{n}$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{(n+1)}$.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) s(n-1, k-1)$ (gdzie $n > k > 0$).

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle \left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle \right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \dots, k, k\}$ zawierających $n$ wniesień.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Pytanie 18 z 50

Wskaż definicję relacji równoważności:

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest spójną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Pytanie 19 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zasada włączania i wyłączania umożliwia obliczenie liczności części wspólnej $n$ zbiorów $A_1, A_2, ..., A_n$ w oparciu o liczności sum zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$.

Zasadę włączania i wyłączania można zastosować wyłącznie do obliczenia liczności sumy zbiorów, których części wspólne nie są zbiorami pustymi; zasady tej nie można zastosować dla zbiorów rozłącznych.

Zasadę włączania i wyłączania stosuje się do obliczenia liczności sumy pewnej liczby zbiorów w sytuacji, gdy nie można wyznaczyć elementów należących do tej sumy.

Zasada włączania i wyłączania ma postać: $ \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$

Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa iloczynu dla więcej niż dwóch zbiorów skończonych.

Pytanie 20 z 50

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze 5×5:

$r_B(x) = 0 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 2 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^6$

$r_B(x) = 1 + 27x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

Pytanie 21 z 50

Do 7 rozróżnialnych pudełek można wrzucić (w dowolny sposób) 4 identyczne elementy na

$\frac{7!}{(7-4)!}$ sposobów.

$4^7$ sposobów.

$\binom{7}{4}$ sposobów.

$7^4$ sposobów.

$\binom{7+4-1}{4}$ sposobów.

Pytanie 22 z 50

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe:

Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow p$.

Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg p \rightarrow \neg q$.

Zdanie złożone jest tautologią, jeżeli jest ono fałszywe niezależnie od wartości logicznych jego zdań składowych.

Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow \neg p$.

Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $p \rightarrow \neg q$.

Pytanie 23 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru.

Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $\frac{|S|}{k}$.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, ..., A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$.

„Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach.

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $\lceil |S| / k \rceil$ elementów lub więcej.

Pytanie 24 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Pytanie 25 z 50

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ będących podzbiorami zbioru 18-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie 3 podzbiorów wynosi:

co najwyżej 9.

nie może być określona.

co najmniej 9.

dokładnie 3.

dokładnie 9.

Pytanie 26 z 50

Wybierz wszystkie poprawne:

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \cap V_2 = \emptyset$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \subseteq V_2$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli jego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, że żadna krawędź występująca w tym grafie nie jest incydentna z dwoma wierzchołkami należącymi do tego samego podzbioru.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych ścieżek Hamiltona.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych cykli.

Pytanie 27 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód warunku początkowego w drugiej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości pewnych zdań $S(n)$ dla dowolnych elementów $n$, takich że $n_0 \leq n \leq n_1$.

W zasadzie silnej indukcji matematycznej warunek początkowy ma postać $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(n_1)$, gdzie $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$ i $n_0 \leq n_1$, a $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje liczba całkowita dodatnia $n$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga pokazania, że dla pewnej konkretnej wartości $k \geq n_0$ zachodzi implikacja $[S(n_0) \land ... \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)$.

Pytanie 28 z 50

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 29 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $r c^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_n = ca_0^n$, $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Pełna definicja ciągu opisanego zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego musi zawierać wartości $k$ kolejnych (np. początkowych) elementów tego ciągu.

Zależność rekurencyjna postaci $c_{n} a_{n} + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_k a_{k} = 0$, gdzie $c_{i}$ dla $i = n, \ldots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_{n} \neq 0$ i $c_{k} \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Pytanie 30 z 50

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_n + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością:

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

niejednorodną.

nieliniową.

Pytanie 31 z 50

Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów jest formułą składającą się z:

4 składników, ponieważ są 4 zbiory.

16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym.

nieznanej liczby składników, ponieważ ich liczba zależy od liczności tych zbiorów.

15 składników.

8 składników.

Pytanie 32 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany.

Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy.

Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych.

Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności.

Pytanie 33 z 50

Niech $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Jeżeli $x = y + z$ dla pewnych $x, y, z \in \mathbb{Z}$ oraz $a$ dzieli dwie z trzech liczb $x, y, z$, to $a$ dzieli również trzecią z tych liczb.

$[(a|b) \land (b|c)] \Rightarrow c|a$.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow a|(bx + cy)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

$a|b \Rightarrow a|x^b$ dla każdego $x \in \mathbb{Z}$.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow (bx + cy)|a$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

Pytanie 34 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego jest nie większa od liczby $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń.

$k$-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego odpowiada rozmieszczeniu $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi: $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$.

Istnieje $b^b$ różnych $b$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $a$-elementowego $(a \leq b$ lub $b < a)$.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami jest równa liczbie $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami.

Pytanie 35 z 50

Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory.

4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

Pytanie 36 z 50

Poprawna pełna zasada włączania i wyłączania dla zbioru $N$ elementowego, którego pewne elementy spełniają własności $c_i, (i = 1,2,3)$ ma postać:

$N(c_1 \vee c_2 \vee c_3) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3)$

$N(c_1 c_2 c_3) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3) - N(c_1 c_2) - N(c_1 c_3) - N(c_2 c_3) + N(c_1 c_2 c_3)$

$N(c_1 c_2 c_3) = N(c_1) + N(c_3) - N(c_1 c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3) - N(c_1 c_2 c_3)$

Pytanie 37 z 50

Niech $G=(V,E)$ będzie grafem nieskierowanym bez wierzchołków izolowanych. Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu parzystym.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu nieparzystym.

$G$ zawiera obwód Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma nieparzysty stopień.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

Pytanie 38 z 50

Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru:

liczb naturalnych.

liczb rzeczywistych.

dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych.

liczb rzeczywistych dodatnich.

liczb całkowitych.

Pytanie 39 z 50

Funkcję $e^x$ można przedstawić w postaci: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$.

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$.

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots$.

$e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$.

$e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$.

Pytanie 40 z 50

Wśród poniższych zdań wskaż reguły podstawiania.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i jeśli w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $R \Rightarrow Q$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Pytanie 41 z 50

Poprawna zasada włączania i wyłączania dla 3 dowolnych zbiorów ma postać:

$|A_1 \cap A_2 \cap A_3| = |A_1| \cdot |A_2| \cdot |A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2 \cap A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cup A_2| - |A_1 \cup A_3| - |A_2 \cup A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$

$|A_1 \cup A_2 \cup A_3| = |A_1| + |A_2| + |A_3| - |A_1 \cap A_2| - |A_1 \cap A_3| - |A_2 \cap A_3| + |A_1 \cup A_2 \cup A_3|$

Pytanie 42 z 50

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Ciąg liczb Fibonacciego jest przykładem zależności rekurencyjnej rzędu trzeciego, ponieważ w zależności rekurencyjnej występują trzy elementy ciągu.

Ciąg liczb harmonicznych pierwszego rzędu jest zbieżny.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju dotyczą podziału zbioru na cykle, a liczby Stirlinga pierwszego rodzaju podziału zbioru na podzbiory.

Cykle jedno- i dwu-elementowe są równoważne zbiorom jedno- i dwu-elementowym.

Liczby Eulera dotyczą wariacji z powtórzeniami.

Pytanie 43 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe:

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_B(x) = r_C(x) + r_D(x)$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $x \times x$.

Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$.

Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary niemające wspólnych wierszy ani kolumn.

Jeśli w wielomianie szachowym $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$ dla szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$ współczynnik $r_n = 0$, to na szachownicy $B$ nie można rozmieścić $n$ wzajemnie nieatakujących się wież.

Pytanie 44 z 50

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności.

Grafu niespójnego nie można zaetykietować.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Pytanie 45 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$

Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów.

Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 46 z 50

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami drzewa.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i jeżeli $x,y \in V$ oraz $\{x,y\} \notin E$, to dodanie do $G$ krawędzi $\{x,y\}$ spowoduje powstanie grafu $G'$ zawierającego dokładnie jeden cykl.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli posiada korzeń.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|+1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli jest spójny i $|V|=|E|-1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|-1$.

Pytanie 47 z 50

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze $5 \times 5$:

$r_B(x) = 2 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 26x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 0 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 1x^6$.

Pytanie 48 z 50

Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1}+3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością rekurencyjną liniową ze stałymi współczynnikami:

rzędu trzeciego jednorodną,

rzędu drugiego jednorodną,

rzędu trzeciego niejednorodną,

rzędu $(n+1)$-szego jednorodną.

rzędu drugiego niejednorodną,

Pytanie 49 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej.

Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $n \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas w poszczególnych wierszach.

Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze.

Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$.

Pytanie 50 z 50

Zaznacz zdania prawdziwe.

Liczba $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $k$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \dots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \dots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k}{n_i=n!}$.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Losowa kolejność Reset Start

Korzystanie z serwisu wiąże się z akceptacją regulaminu