Quiz

Pytanie 1 z 70

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze 5×5:

$r_B(x) = 0 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^6$

$r_B(x) = 1 + 27x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 2 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

Pytanie 2 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$.

Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$.

Dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$, liczba elementów, które nie spełniają żadnego z tych warunków wynosi: $N(\overline{c_1} \overline{c_2} ... \overline{c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i c_j c_k) + \dots + (-1)^t N(c_1 c_2 ... c_t)$.

Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i$ i $c_j$ i równocześnie nie spełniających pozostałych warunków $c_k$, $(1 \leq i, j, k \leq t, k \neq i, k \neq j)$.

Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości.

Pytanie 3 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami drzewa.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli jest spójny i $|V|=|E|-1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i jeżeli $x,y \in V$ oraz $\{x,y\} \notin E$, to dodanie do $G$ krawędzi $\{x,y\}$ spowoduje powstanie grafu $G'$ zawierającego dokładnie jeden cykl.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli posiada korzeń.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|-1$.

Graf $G=(V,E)$ jest drzewem, jeżeli nie zawiera cykli i $|V|=|E|+1$.

Pytanie 4 z 70

Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów.

$(A \cap B) \cap C = A \cup (B \cap C)$

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = \overline{A}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

Pytanie 5 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = \sqrt{2}$.d

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 1$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 1$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 2$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 0$.

Pytanie 6 z 70

Wybierz wszystkie poprawne:

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \cap V_2 = \emptyset$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli $V=V_1 \cup V_2$, $V_1 \subseteq V_2$ oraz dla każdej krawędzi $\{x,y\} \in E$ zachodzi $x \in V_1 \land y \in V_2$.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli jego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne podzbiory w taki sposób, że żadna krawędź występująca w tym grafie nie jest incydentna z dwoma wierzchołkami należącymi do tego samego podzbioru.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych ścieżek Hamiltona.

Graf $G=(V,E)$ jest grafem dwudzielnym, jeżeli występuje w nim parzysta liczba rozłącznych cykli.

Pytanie 7 z 70

Dany jest poniższy prostokąt łaciński $L$ ze zbioru $\{1,6\}$. Zaznacz kolumnę, której $\textbf{nie można}$ dopisać do tego prostokąta, jeśli ma być nadal rozszerzalny do kwadratu łacińskiego $6 \times 6$: $L =\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 & 6 \\4 & 5 & 3 & 1 \\3 & 4 & 6 & 2 \\5 & 6 & 1 & 4\end{pmatrix}$

$\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}1 \\2 \\5 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}5 \\2 \\1 \\3\end{matrix}$

$\begin{matrix}5 \\6 \\1 \\2\end{matrix}$

$\begin{matrix}1 \\6 \\5 \\2\end{matrix}$

Pytanie 8 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$.

Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów.

Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$

Pytanie 9 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pełna definicja ciągu opisanego zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego musi zawierać wartości $k$ kolejnych (np. początkowych) elementów tego ciągu.

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $r c^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_n = ca_0^n$, $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Zależność rekurencyjna postaci $c_{n} a_{n} + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_k a_{k} = 0$, gdzie $c_{i}$ dla $i = n, \ldots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_{n} \neq 0$ i $c_{k} \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Pytanie 10 z 70

Do 6 rozróżnialnych pudełek wrzucane są w dowolny sposób 4 rozróżnialne elementy. Każdy sposób wrzucenia elementów do pudełek jest przykładem:

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

6-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

6-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

Pytanie 11 z 70

Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1}+3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością rekurencyjną liniową ze stałymi współczynnikami:

rzędu drugiego jednorodną,

rzędu drugiego niejednorodną,

rzędu trzeciego jednorodną,

rzędu trzeciego niejednorodną,

rzędu $(n+1)$-szego jednorodną.

Pytanie 12 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie zależności rekurencyjnej polega na wyznaczeniu wartości liczbowej elementu ciągu występującego po elementach początkowych.

Każda zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_{n-k} a_{n-k} = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n-k, \ldots, n$ są zupełnie dowolnymi stałymi rzeczywistymi, jest liniową zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ ma postać $a_n = x_1 r_1^n + x_2 r_2^n$.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + c a_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = a_0 b^n$, gdzie $b = -c$, a $c$ oznacza pewną stałą i nie $\in \mathbb{N}$.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} = 1$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-2} \neq 0$, może być rozwiązana za pomocą metody równania charakterystycznego.

Pytanie 13 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) s(n-1, k-1)$ (gdzie $n > k > 0$).

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle \left\langle \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right\rangle \right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \dots, k, k\}$ zawierających $n$ wniesień.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_{n}$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{(n+1)}$.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Pytanie 14 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 15 z 70

Niech $H$ będzie grafem sprzężonym pewnego grafu $G$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje obwód Eulera.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje droga Eulera.

W grafie $G$ istnieje cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje cykl Hamiltona.

Pytanie 16 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2^2 + a_3 x_3^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x_i^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 17 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są liczbami pierwszymi.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\gcd(a,b)$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\operatorname{lcm}(a,b)$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{lcm}(a,b)$ dzieli $c$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\gcd(a,b)$ dzieli $c$.

Pytanie 18 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

Drzewo $G = (V, E)$ takie, że $|V| \geq 2$, ma co najmniej trzy wierzchołki o stopniu równym 1.

Dla każdego drzewa $G = (V, E)$ zachodzi $|V| = |E| - 1$.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieją co najmniej dwie ścieżki.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieje dokładnie jedna ścieżka.

Graf nieskierowany $G = (V, E)$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy posiada drzewo rozpinające.

Pytanie 19 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $rc^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + ca_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = ca_0^n$, gdzie $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \dots + c_k a_k = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n, \dots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_n \neq 0$ i $c_k \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie problemu wież z Hanoi, $T_n = 2T_{n-1} + 1, n > 0, T_0 = 0$, jest przykładem niejednorodnej liniowej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o jednym pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie wartości stałych $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Pytanie 20 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$.

Dowód warunku początkowego w drugiej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości pewnych zdań $S(n)$ dla dowolnych elementów $n$, takich że $n_0 \leq n \leq n_1$.

W zasadzie silnej indukcji matematycznej warunek początkowy ma postać $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(n_1)$, gdzie $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$ i $n_0 \leq n_1$, a $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje liczba całkowita dodatnia $n$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga pokazania, że dla pewnej konkretnej wartości $k \geq n_0$ zachodzi implikacja $[S(n_0) \land ... \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)$.

Dowód kroku indukcyjnego w drugiej zasadzie indukcji wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(n_0) \land S(n_0+1) \land ... \land S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Pytanie 21 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Liczba $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $k$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami.

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \dots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \dots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k}{n_i=n!}$.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

Pytanie 22 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających.

Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$.

Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$.

Pytanie 23 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 24 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ ($p \leq n$, $q < n$) do kwadratu $n \times n$ nie jest możliwe, jeśli dla pewnego elementu $l$ ($1 \leq l \leq n$) liczba jego wystąpień w prostokącie $l(l)$ jest mniejsza od $p + q - n$.

Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej.

Rozszerzalny prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n-q)$ wierszy, a następnie $(n-p)$ kolumn.

Dla $n$ będącego liczbą pierwszą istnieje dokładnie $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla $n$ będącego potęgą liczby pierwszej co najmniej $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$.

Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowaną z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają nazywamy kwadratem łacińskim.

Pytanie 25 z 70

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 26 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Kombinacja $k$-elementowa z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego, to $k$-elementowy podzbiór elementów tego zbioru, w którym kolejność elementów nie jest istotna.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być interpretowana jako rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako permutacja z powtórzeniami dwóch różnych symboli powtarzających się odpowiednio $n$ i $k$ razy.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{k + n - 1}{n}$ gdzie $k < n$.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako $k$-elementowa permutacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 27 z 70

Do 7 rozróżnialnych pudełek można wrzucić (w dowolny sposób) 4 identyczne elementy na

$\frac{7!}{(7-4)!}$ sposobów.

$4^7$ sposobów.

$\binom{7}{4}$ sposobów.

$7^4$ sposobów.

$\binom{7+4-1}{4}$ sposobów.

Pytanie 28 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow (N^+(x) = N^+(y) \land N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset)$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) = N^+(y)$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset$.

Pytanie 29 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$.

Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej.

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$.

Pytanie 30 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Grafu niespójnego nie można zaetykietować.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Pytanie 31 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

Pytanie 32 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Uogólniona zasada szufladkowa sprowadza się do „klasycznej” zasady szufladkowej, gdy każdy z elementów analizowanego zbioru $S$ należy do co najmniej jednego podzbioru spośród $A_1, \dots, A_k$.

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to dokładnie jeden z tych zbiorów zawiera $\lceil |S|/k \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa minimalną wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących podzbiorami skończonego zbioru $S$, takimi że każdy element zbioru $S$ należy do co najmniej 1 spośród zbiorów $A_i$ ($1 \leq |S|/k$).

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to liczność tych wszystkich zbiorów wynosi co najmniej $\lfloor |S|/k \rfloor$.

Dowód uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wymaga zastosowania zwykłej zasady szufladkowej.

Pytanie 33 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest możliwe tylko wówczas, jeśli liczba wystąpień poszczególnych elementów spełnia warunek $l(i) > p + q - n$ dla każdego $i = 1, ..., n$.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas odpowiednio w poszczególnych wierszach i kolumnach.

Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, ..., n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Dla $n$ będącego liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej istnieje co najwyżej $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla pozostałych wartości $n$ istnieje dokładnie $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$.

Prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n - p)$ wierszy zbudowanych z dowolnej transwersali, a następnie $(n - q)$ kolumn zbudowanych ze specyficznej transwersali zawierającej zbiór $P$.

Pytanie 34 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zasada włączania i wyłączania ma postać: $ \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$

Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa iloczynu dla więcej niż dwóch zbiorów skończonych.

Zasadę włączania i wyłączania można zastosować wyłącznie do obliczenia liczności sumy zbiorów, których części wspólne nie są zbiorami pustymi; zasady tej nie można zastosować dla zbiorów rozłącznych.

Zasadę włączania i wyłączania stosuje się do obliczenia liczności sumy pewnej liczby zbiorów w sytuacji, gdy nie można wyznaczyć elementów należących do tej sumy.

Zasada włączania i wyłączania umożliwia obliczenie liczności części wspólnej $n$ zbiorów $A_1, A_2, ..., A_n$ w oparciu o liczności sum zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$.

Pytanie 35 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$.

Rozszerzanie prostokąta łacińskiego $p \times n$ o jeden wiersz wymaga wyznaczenia dowolnego systemu różnych reprezentantów rodziny zbiorów $\{A_1, \dots, A_n\}$, gdzie zbiór $A_i$ zawiera elementy dotychczas niewystępujące w kolumnie $i$ ($1 \leq i \leq n$).

Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze.

Rozszerzając prostokąt łaciński $p \times q$, do kwadratu $n \times n$ należy w nowej kolumnie umieścić wszystkie elementy $i = 1, \dots, n$, dla których liczba wystąpień spełnia warunek $L(i) > p + q - n$.

Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Pytanie 36 z 70

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, na_{n} + 3a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością:

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

niejednorodną.

nieliniową.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

która nie może być rozwiązywana metodą równania charakterystycznego.

Pytanie 37 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$.

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami

Pytanie 38 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa tylko i wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary nie mające wspólnych wierszy ani kolumn.

W dowolnym wielomianie szachowym dla szachownicy o wymiarze $n \times n$ wszystkie współczynniki $r_k$ stojące przy $x^k$ dla $k > n$ przyjmują wartość zerową.

Wielomian szachowy $r_f(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_k x^k + ... + r_n x^n$ to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $x$ wzajemnie atakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$.

Szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_f(x) = r_C(x) + x r_D(x)$.

Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$.

Pytanie 39 z 70

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$ będących podzbiorami zbioru $10$ elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie $4$ podzbiorów:

wynosi co najmniej $10$.

nie może być określona.

wynosi mniej niż $8$.

wynosi dokładnie $10$.

wynosi dokładnie $8$.

Pytanie 40 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy.

Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany.

Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności.

Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany.

Pytanie 41 z 70

Zależność rekurencyjna $\{a_0 = 1, a_1 = 2, na_n = 3a_{n-1}\cdot a_{n-2}=0 \text{ dla } n \geq 2\}$ jest zależnością:

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego,

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym,

o stałych współczynnikach,

niejednorodną,

Pytanie 42 z 70

Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej:

są równoważne.

nie są równoważne.

są równoważne jedynie dla twierdzeń dotyczących liczb naturalnych.

są technikami dowodzenia twierdzeń dotyczących wyłącznie zależności rekurencyjnych jednorodnych.

mogą być zastosowane do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb rzeczywistych dodatnich.

Pytanie 43 z 70

Zasada indukcji matematycznej jest techniką, która może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$:

w których $n$ należy do zbioru liczb całkowitych dodatnich.

dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

w których $n$ jest nieujemne.

dotyczących kolejnych liczb rzeczywistych.

dotyczących liczb wymiernych.

Pytanie 44 z 70

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n+1} + 3a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością rekurencyjną:

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną.

Pytanie 45 z 70

Wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Pytanie 46 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Liczby Eulera pierwszego rzędu $\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle$ oznaczają liczbę $n$-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wzniesień.

Liczby harmoniczne $H_n$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ i tworzą ciąg liczbowy rosnący logarytmicznie wolno dla $n \to \infty$.

Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga drugiego rodzaju $S(n,n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywany przez nią podział jest niemożliwy.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$-niepustych podzbiorów są nie mniejsze niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Twierdzenie Zeckendorfa stwierdza, iż każda liczba całkowita dodatnia $n$ może być jednoznacznie przedstawiona w postaci iloczynu pewnych liczb Fibonacciego i zapisana w postaci odpowiedniego ciągu zer i jedynek.

Pytanie 47 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby nie będące liczbami całkowitymi.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Pytanie 48 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich relacji.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku $\langle x, y \rangle \in \rho$ wynika warunek $\langle y, x \rangle \in \rho$ dla każdego $x, y \in X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \in \rho$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy spójną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, z \rangle \in \rho$ implikują warunek $\langle x, z \rangle \in \rho$ dla każdych trzech elementów $x, y, z$ zbioru $X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, x \rangle \in \rho$ pociągają za sobą warunek $x = y$ dla każdej pary $x, y$ elementów zbioru $X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy zwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \notin \rho$.

Pytanie 49 z 70

Niech $p$ i $q$ będą zdaniami logicznymi prostymi, $T_0$ niech będzie dowolną tautologią, a $F_0$ dowolnym zdaniem sprzecznym. Wśród poniższych par zdań wskaż zdania logicznie równoważne.

$p \lor T_0, p$

$p \land T_0, \neg p$

$p \rightarrow q, \neg p \lor q$

$p \land F_0, p$

$p \land F_0, F_0$

Pytanie 50 z 70

Funkcję $e^x$ można przedstawić w postaci: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$.

$e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$.

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, \dots$.

$e^x$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, \dots$.

$e^x$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 1, \frac{1}{2!}, \frac{1}{3!}, \frac{1}{4!}, \dots$.

Pytanie 51 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$.

Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$.

Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$.

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$.

Pytanie 52 z 70

Poprawna pełna zasada włączania i wyłączania dla zbioru $N$ elementowego, którego pewne elementy spełniają własności $c_i, (i = 1,2,3)$ ma postać:

$N(c_1 \vee c_2 \vee c_3) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3) - N(c_1 c_2) - N(c_1 c_3) - N(c_2 c_3) + N(c_1 c_2 c_3)$

$N(c_1 c_2 c_3) = N(c_1) + N(c_3) - N(c_1 c_3)$

$N(c_1 c_2 c_3) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3) - N(c_1 c_2 c_3)$

Pytanie 53 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach, ma postać $a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n$ gdzie $x_1$ i $x_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} + c_{n-3} a_{n-3} = 0$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}, c_{n-3}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-3} \neq 0$, jest liniową zależnością rekurencyjną jednorodną rzędu trzeciego i może być rozwiązana za pomocą równania charakterystycznego stopnia trzeciego.

Wyznaczenie wzoru jawnego jest możliwe dla ciągów liczbowych opisanych jedynie zależnościami rekurencyjnymi jednorodnymi.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami, ma postać $ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ lub $a_n = c_1 r_1^n + c_2 n r^n$ w zależności od liczby różnych pierwiastków równania charakterystycznego.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami, postaci $a_{n+1} + c a_n = f(n)$ jest dane wzorem: $a_n = a_0 d^n$ gdzie $d_0$ i $d$ oznaczają pewne stałe, $n \in \mathbb{N}$.

Pytanie 54 z 70

Niech $G=(V,E)$ będzie dowolnym grafem i niech $X,Y \subseteq V$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest maksymalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest minimalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $Y$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest $\min{|X|, |Y|}$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $X$.

Pytanie 55 z 70

Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory.

Pytanie 56 z 70

Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_{n+1} + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0) $ dla $ n \geq 3 $ jest zależnością:

niejednorodną.

nieliniową.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia czwartego.

Pytanie 57 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Zasada włączania i wyłączania dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$ ma postać: $N(\overline{c_1, c_2, \dots, c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i, c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i, c_j, c_k) + ... + (-1)^t N(c_1, c_2, \dots, c_t)$.

Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości.

Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$.

Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$.

Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i \land c_j$ i równocześnie niespełniających pozostałych warunków $c_k$ ($1 \leq i, j \leq t$, $k \neq i$, $k \neq j$).

Pytanie 58 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$.

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$.

Pytanie 59 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż reguły podstawiania.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $R \Rightarrow Q$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i jeśli w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Pytanie 60 z 70

Niech $G=(V,E)$ będzie grafem nieskierowanym bez wierzchołków izolowanych. Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu parzystym.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma nieparzysty stopień.

$G$ zawiera drogę Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i zawiera dokładnie dwa wierzchołki o stopniu nieparzystym.

$G$ zawiera cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

$G$ zawiera obwód Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy $G$ jest spójny i każdy wierzchołek $G$ ma parzysty stopień.

Pytanie 61 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku.

Pytanie 62 z 70

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze $5 \times 5$:

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 1x^6$.

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 2 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 0 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 26x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

Pytanie 63 z 70

Zaznacz zdania prawdziwe.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $n \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas w poszczególnych wierszach.

Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$.

Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej.

Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze.

Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Pytanie 64 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla każdej liczby $k \geq n_0$.

Pierwsza zasada indukcji może być podana dla dowolnego elementu $n_0$, od którego rozpoczyna się proces indukcyjny i przyjmuje wówczas postać $[S(n_0) \land (S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n \geq n_{0}} S(n)$.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej może być sformułowana następująco $[S(1) \land (\forall_{k\geq 1} S(k) \Rightarrow S(k+1))] \Rightarrow \forall_{n\geq1} S(n)$, gdzie $S(n)$ oznacza zdanie otwarte, w którym występuje pewna liczba całkowita dodatnia $n$.

Dowód warunku początkowego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga pokazania prawdziwości zdania $S(n)$ dla dowolnego elementu $n \geq n_0$.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Pytanie 65 z 70

Zaznacz funkcję tworzącą, która $\textbf{może być}$ wielomianem szachowym $\textbf{dopełnienia}$ podanej szachownicy $B$:

$r_B(x) = 1 + 25x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

Pytanie 66 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego jest nie większa od liczby $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń.

$k$-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi: $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$.

Istnieje $b^b$ różnych $b$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $a$-elementowego $(a \leq b$ lub $b < a)$.

$k$-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego odpowiada rozmieszczeniu $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami jest równa liczbie $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami.

Pytanie 67 z 70

Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru:

liczb całkowitych.

liczb rzeczywistych dodatnich.

liczb rzeczywistych.

dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych.

liczb naturalnych.

Pytanie 68 z 70

Zaznacz zdanie prawdziwe:

„Klasyczna” zasada szufladkowa dotyczy podziału zbioru $S$ na dwa zbiory, a uogólniona zasada szufladkowa dotyczy podziału na dowolną liczbę zbiorów.

Zasada szufladkowa Dirichleta wynika z obserwacji, że jeśli $m$ przedmiotów umieszcza się w zupełnie dowolny sposób w $n$ szufladkach i $m > n$, to żadna szufladka nie będzie pusta.

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to co najwyżej jeden z tych podzbiorów zawiera $\lceil \frac{|S|}{k} \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do co najmniej $p$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi co najmniej $\frac{p |S|}{k}$.

Z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do dokładnie $t$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi dokładnie $\frac{k |S|}{t}$.

Pytanie 69 z 70

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$.

Pytanie 70 z 70

Wybierz wszystkie poprawne:

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Losowa kolejność Reset Start

Korzystanie z serwisu wiąże się z akceptacją regulaminu