Quiz

Pytanie 1 z 90

Do 7 rozróżnialnych pudełek można wrzucić (w dowolny sposób) 4 identyczne elementy na

$7^4$ sposobów.

$\binom{7}{4}$ sposobów.

$\frac{7!}{(7-4)!}$ sposobów.

$\binom{7+4-1}{4}$ sposobów.

$4^7$ sposobów.

Pytanie 2 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

W pierwszej zasadzie indukcji matematycznej z prawdziwości warunku początkowego lub kroku indukcyjnego wynika prawdziwość hipotezy indukcyjnej.

Druga zasada indukcji matematycznej jest wykorzystywana do dowodzenia twierdzeń postaci: $\forall_{n \in \mathbb{Z}^+} S(n)$, takich że zdanie $S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \in \mathbb{Z}^+$.

Druga zasada indukcji matematycznej dla dowolnych $n_0, n_1 \in \mathbb{Z}^+$, $n_0 \leq n_1$, ma postać: $[[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \land [\forall_{k \geq n_0} [[S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k)] \Rightarrow S(k+1)]]] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Druga zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$, $n_1 \geq 1$ ma postać: $\left[ \forall_{k \geq n_1} [[ S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(k) ] \Rightarrow S(k+1)] \land [S(1) \land S(2) \land \ldots \land S(n_1)] \right] \Rightarrow \forall_{n \geq n_1} S(n)$

Jeśli w dowodzie kroku indukcyjnego wykorzystuje się założenie o prawdziwości tylko jednego ze zdań $S(x)$ poprzedzających zdanie $S(k+1)$, $x \leq k$, to w pierwszej zasadzie twierdzenia wystarczy pierwsza zasada indukcji matematycznej.

Pytanie 3 z 90

Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów składa się z

4 składników, ponieważ są 4 zbiory.

15 składników.

16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym.

5 składników.

nieskończonej liczby składników.

Pytanie 4 z 90

Każdy sposób wrzucenia 4 identycznych elementów do 5 rozróżnialnych pudełek jest przykładem:

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

5-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

Pytanie 5 z 90

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_3 = 6, 2a_{n+1} + 3a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością rekurencyjną:

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego niejednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu czwartego niejednorodną.

Pytanie 6 z 90

Niech $G=(V_1,V_2,E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest liczbie krawędzi grafu $G$.

Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu.

Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu.

Maksymalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest minimalnej liczbie wierzchołków w skojarzeniu.

Minimalna liczba wierzchołków grafu $G$, wśród których jest co najmniej jeden koniec każdej jego krawędzi równa jest maksymalnej liczbie krawędzi w skojarzeniu.

Pytanie 7 z 90

Zaznacz obiekt nie będący prostokątem łacińskim ze zbioru $\{1,\ldots,6\}$:

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 \\4 & 3 & 2 & 1 & 6 & 5 \\3 & 6 & 5 & 1 & 3 & 4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}6 & 5 & 4 & 3 \\3 & 1 & 5 & 1 \\1 & 3 & 2 & 6 \\2 & 3 & 5 & 1\end{bmatrix}$

$[1, 2, 3, 4, 5, 6]$

$\begin{bmatrix}3 & 1 & 2 \\2 & 3 & 1 \\1 & 2 & 6\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 4 \\5 & 6 \\1 & 2 \\6 & 3 \\4 & 5\end{bmatrix}$

Pytanie 8 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$, liczba elementów, które nie spełniają żadnego z tych warunków wynosi: $N(\overline{c_1} \overline{c_2} ... \overline{c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i c_j c_k) + \dots + (-1)^t N(c_1 c_2 ... c_t)$.

Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$.

Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$.

Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości.

Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i$ i $c_j$ i równocześnie nie spełniających pozostałych warunków $c_k$, $(1 \leq i, j, k \leq t, k \neq i, k \neq j)$.

Pytanie 9 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+...$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

$x+2^2x^2+3^2x^2+4^2x^4+...$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0^2, 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$

Pytanie 10 z 90

Niech $A, B$ i $C$ będą podzbiorami pewnej przestrzeni $U$. Wśród poniższych zdań wskaż prawa algebry zbiorów.

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$A \cap (A \cup B) = \overline{A}$

$(A \cap B) \cap C = A \cup (B \cap C)$

$A \cup (A \cap B) = A$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

Pytanie 11 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie zależności rekurencyjnej polega na wyznaczeniu wartości liczbowej elementu ciągu występującego po elementach początkowych.

Każda zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_{n-k} a_{n-k} = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n-k, \ldots, n$ są zupełnie dowolnymi stałymi rzeczywistymi, jest liniową zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach $x_1$ i $x_2$ ma postać $a_n = x_1 r_1^n + x_2 r_2^n$.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + c a_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = a_0 b^n$, gdzie $b = -c$, a $c$ oznacza pewną stałą i nie $\in \mathbb{N}$.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} = 1$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-2} \neq 0$, może być rozwiązana za pomocą metody równania charakterystycznego.

Pytanie 12 z 90

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze $5 \times 5$:

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 1x^6$.

$r_B(x) = 0 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 2 + 7x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

$r_B(x) = 1 + 26x + 16x^2 + 13x^3 + 3x^4 + 0x^5$.

Pytanie 13 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby niebędące liczbami całkowitymi.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

Pytanie 14 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle {n \atop k} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę permutacji z powtórzeniami multizbioru $\{1, 1, 2, 2, \ldots, k, k\}$ zawierających $n$ wzniesień.

Definicja rekurencyjna liczb Stirlinga drugiego rodzaju zawiera zależność postaci: $S(n, k) = S(n-1, k) + k \cdot S(n-1, k-1)$, a definicja rekurencyjna liczb Stirlinga pierwszego rodzaju: $s(n, k) = s(n-1, k) + (n-1) \cdot s(n-1, k-1)$ $(\text{gdzíe n} > 0, k > 0)$.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$ niepustych rozłącznych podzbiorów są nie większe niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ niepustych cyklach.

Liczby harmoniczne pierwszego rzędu tworzą ciąg zbieżny do pewnej granicy, ponieważ zgodnie z definicją rekurencyjną każda kolejna liczba $H_{n+1}$ powstaje z poprzedniej liczby $H_n$ przez dodanie ułamka $\frac{1}{n+1}$.

W systemie liczbowym Fibonacciego, zbudowanym w oparciu o twierdzenie Zeckendorfa, do jednoznacznej reprezentacji liczb całkowitych dodatnich wykorzystuje się wszystkie liczby Fibonacciego $F_k$, dla $k \geq 0$.

Pytanie 15 z 90

Wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \equiv P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Pytanie 16 z 90

Poprawna pełna zasada włączania i wyłączania dla zbioru $N$ elementowego, którego pewne elementy spełniają własności $c_i, (i = 1,2,3)$ ma postać:

$N(c_1 c_2 c_3) = N(c_1) + N(c_3) - N(c_1 c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3) - N(c_1 c_2) - N(c_1 c_3) - N(c_2 c_3) + N(c_1 c_2 c_3)$

$N(c_1 \vee c_2 \vee c_3) = N(c_1) + N(c_2) + N(c_3)$

$N(c_1 c_2 c_3) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3)$

$N(\overline{c_1} \overline{c_2} \overline{c_3}) = N - N(c_1) - N(c_2) - N(c_3) + N(c_1 c_2) + N(c_1 c_3) + N(c_2 c_3) - N(c_1 c_2 c_3)$

Pytanie 17 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

$k$-wyrazową permutacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg mogących się powtarzać elementów tego zbioru.

Liczba $n$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami jest nie większa niż liczba $n$-wyrazowych permutacji bez powtórzeń.

Permutacja z powtórzeniami może być interpretowana jako dowolne rozmieszczenie $n$ rozróżnialnych obiektów w $k$ rozróżnialnych pudełkach.

$k$-wyrazowe permutacje z powtórzeniami są równoważne $k$-wyrazowym wariacjom z powtórzeniami

W $n$-elementowej permutacji z powtórzeniami ze zbioru $\{a_1, \ldots, a_n\}$, w której element $a_i$ powtarza się $n_i$ razy, dla $i = 1, \ldots, k$, zachodzi: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n!$.

Pytanie 18 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 0$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = \sqrt{2}$.d

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli $\gcd(a, b) = 1$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 2$.

Liczby całkowite $a$ i $b$ są względnie pierwsze, jeżeli istnieją liczby całkowite $x$ i $y$, takie że $ax + by = 1$.

Pytanie 19 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa minimalną wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, \dots, A_k$ będących podzbiorami skończonego zbioru $S$, takimi że każdy element zbioru $S$ należy do co najmniej 1 spośród zbiorów $A_i$ ($1 \leq |S|/k$).

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to dokładnie jeden z tych zbiorów zawiera $\lceil |S|/k \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa sprowadza się do „klasycznej” zasady szufladkowej, gdy każdy z elementów analizowanego zbioru $S$ należy do co najmniej jednego podzbioru spośród $A_1, \dots, A_k$.

Dowód uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wymaga zastosowania zwykłej zasady szufladkowej.

Zasada szufladkowa Dirichleta stwierdza, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to liczność tych wszystkich zbiorów wynosi co najmniej $\lfloor |S|/k \rfloor$.

Pytanie 20 z 90

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe:

Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $p \rightarrow \neg q$.

Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow p$.

Zdaniem przeciwstawnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg q \rightarrow \neg p$.

Zdanie złożone jest tautologią, jeżeli jest ono fałszywe niezależnie od wartości logicznych jego zdań składowych.

Zdaniem odwrotnym do zdania $p \rightarrow q$ jest zdanie $\neg p \rightarrow \neg q$.

Pytanie 21 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania będące definicjami odpowiednich zbiorów.

Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$.

Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$.

Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$.

Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $O(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $O(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq f(n) \leq c g(n)$ dla wszystkich $n \leq n_0 \}$.

Dla danej funkcji $g(n)$ oznaczamy przez $\Omega(g(n))$ następujący zbiór funkcji: $\Omega(g(n)) = \{ f(n) :$ istnieją dodatnie stałe $c$ i $n_0$ takie, że $0 \leq c g(n) \leq f(n)$ dla wszystkich $n \geq n_0 \}$.

Pytanie 22 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 x_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2^2 + a_3 x_3^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x_i^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 23 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{n}{k}$, gdzie $n \leq k < n$.

Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów.

Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k = 0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$.

Pytanie 24 z 90

Zasada indukcji matematycznej może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$, w którym $n$ należy do zbioru:

liczb rzeczywistych.

liczb naturalnych.

liczb całkowitych.

liczb rzeczywistych dodatnich.

dowolnego podzbioru zbioru liczb wymiernych.

Pytanie 25 z 90

Obiekty kombinatoryczne $D, C, A, B$ i $A, D, C, B$ zostały utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D, E\}$ i nie są identyczne (można je odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

5-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

4-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

4-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 5-elementowego.

Uporządkowanego podziału zbioru na dwa podzbiory.

Pytanie 26 z 90

Jeśli zbiór 12 elementowy zostanie podzielony w dowolny sposób na 3 niepuste rozłączne podzbiory, to

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

co najwyżej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

co najmniej jeden podzbiór zawiera 4 elementy lub więcej.

dokładnie jeden podzbiór zawiera 4 elementy.

podzbiory są równoliczne.

Pytanie 27 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $d$ etykiet o długości $k$.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ wierzchołków.

W grafie de Bruijna $B(d,k)$ może wystąpić co najwyżej $k$ etykiet o długości $d$.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $k^d$ łuków.

Graf de Bruijna $B(d,k)$ zawiera $d^k$ wierzchołków.

Pytanie 28 z 90

Obiekty $|A, C, D|$ i $|B, E, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie jest istotna. Obiekty te są przykładem:

podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$, ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie.

dwóch 3-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

dwóch 3-elementowych permutacji z powtórzeniami, w których poszczególne elementy występują tylko jeden raz.

dwóch 3-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory.

Pytanie 29 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Każde rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach odpowiada $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Z każdej $k$-elementowej kombinacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego można utworzyć $k!$ różnych $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Każda $k$-elementowa kombinacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewnemu podziałowi tego zbioru na $k$ podzbiorów.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru wynosi $\binom{n}{k}$ gdzie $n \leq k$ lub $k < n$

Wszystkie $k$-elementowe kombinacje bez powtórzeń z $n$-elementowego zbioru, dla $k=0, \ldots, n$, mogą być wygenerowane za pomocą generacji ze wszystkich liczb binarnych z zakresu od $1$ do $2^n$.

Pytanie 30 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Rozszerzając prostokąt łaciński $p \times q$, do kwadratu $n \times n$ należy w nowej kolumnie umieścić wszystkie elementy $i = 1, \dots, n$, dla których liczba wystąpień spełnia warunek $L(i) > p + q - n$.

Każda macierz o wymiarze $p \times q$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $\min(p, q) < n$, w której w żadnym wierszu elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Rozszerzanie prostokąta łacińskiego $p \times n$ o jeden wiersz wymaga wyznaczenia dowolnego systemu różnych reprezentantów rodziny zbiorów $\{A_1, \dots, A_n\}$, gdzie zbiór $A_i$ zawiera elementy dotychczas niewystępujące w kolumnie $i$ ($1 \leq i \leq n$).

Pewne prostokąty łacińskie $p \times n$, w których liczba wystąpień niektórych elementów jest zbyt mała, nie mogą być rozszerzone do kwadratu łacińskiego $n \times n$.

Kwadratem grecko-łacińskim, czyli kwadratem Eulera, nazywamy złożenie dwóch dowolnych kwadratów łacińskich o takim samym rozmiarze.

Pytanie 31 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Jeśli w wielomianie szachowym $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$ dla szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$ współczynnik $r_n = 0$, to na szachownicy $B$ nie można rozmieścić $n$ wzajemnie nieatakujących się wież.

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_B(x) = r_C(x) + r_D(x)$.

Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $x \times x$.

Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary niemające wspólnych wierszy ani kolumn.

Pytanie 32 z 90

Wybierz wszystkie poprawne:

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest $out(x)$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest minimalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci maksymalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Między dwoma dowolnymi wierzchołkami $x$ i $y$ należącymi do sieci minimalna przepustowość przekroju, który rozdziela $x$ od $y$, równa jest maksymalnej wartości przepływu z $x$ do $y$.

Pytanie 33 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\gcd(a,b)$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\gcd(a,b)$ dzieli $c$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\operatorname{lcm}(a,b)$ dzieli $c$.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są liczbami pierwszymi.

Jeżeli $a,b,c \in \mathbb{P}$, to równanie diofantyczne $ax+by=c$ ma rozwiązania całkowite $x=x_0, y=y_0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $c$ dzieli $\operatorname{lcm}(a,b)$.

Pytanie 34 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Każdą szachownicę $B$ można zdekomponować na dwie inne szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ zabroniona jest kolumna, a w $B^2$ wiersz, zawierające pewne dowolnie wybrane pole $s$.

Dekompzycję wielomianów stosuje się jedynie wówczas, gdy nie wyznacza się pełnego wielomianu szachowego pewnego obszaru o wymiarze $n \times n$, ale oblicza się jedynie pojedynczy współczynnik tego wielomianu $r_k$ dla $k < n$.

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $B^1$ i $B^2$, to wówczas $r_B(x)$ jest sumą wielomianów szachowych obszarów $B^1$ i $B^2$.

W wielomianie szachowym dla dowolnej szachownicy o wymiarze $n \times n$ mogą wystąpić niezerowe współczynniki $r_k$ dla $k > n$.

Wielomian szachowy $r_B(x) = 1 + r_1x + r_2x^2 + ... + r_kx^k + ... + r_nx^n$, to funkcja tworząca, której współczynniki $r_k$ oznaczają liczbę możliwych rozmieszczeń $k$ wzajemnie nie atakujących się wież na szachownicy $B$ o wymiarze $n \times n$.

Pytanie 35 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to co najwyżej jeden z tych podzbiorów zawiera $\lceil \frac{|S|}{k} \rceil$ elementów lub więcej.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do co najmniej $p$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi co najmniej $\frac{p |S|}{k}$.

Z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ podzbiorów $A_1, A_2, ..., A_k$, takich że każdy element $S$ należy do dokładnie $t$ spośród tych podzbiorów, to średnia liczność zbiorów $A_i$ wynosi dokładnie $\frac{k |S|}{t}$.

Zasada szufladkowa Dirichleta wynika z obserwacji, że jeśli $m$ przedmiotów umieszcza się w zupełnie dowolny sposób w $n$ szufladkach i $m > n$, to żadna szufladka nie będzie pusta.

„Klasyczna” zasada szufladkowa dotyczy podziału zbioru $S$ na dwa zbiory, a uogólniona zasada szufladkowa dotyczy podziału na dowolną liczbę zbiorów.

Pytanie 36 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być interpretowana jako rozmieszczenie $k$ identycznych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako $k$-elementowa permutacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego.

Każda $k$-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego może być przedstawiona jako permutacja z powtórzeniami dwóch różnych symboli powtarzających się odpowiednio $n$ i $k$ razy.

Kombinacja $k$-elementowa z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego, to $k$-elementowy podzbiór elementów tego zbioru, w którym kolejność elementów nie jest istotna.

Liczba wszystkich $k$-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego wynosi $\binom{k + n - 1}{n}$ gdzie $k < n$.

Pytanie 37 z 90

Niech $G=(V,E)$ będzie dowolnym grafem i niech $X,Y \subseteq V$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $Y$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest maksymalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest $\min{|X|, |Y|}$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest liczności zbioru $X$.

Minimalna liczba wierzchołków, które rozdzielają $X$ od $Y$ równa jest minimalnej liczbie rozłącznych ścieżek z $X$ do $Y$.

Pytanie 38 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Jeśli dla każdej pary elementów $a$ i $b$ można odpowiedzieć na pytanie czy $a \leq b$, to zbiór $S$ jest dobrze uporządkowany.

Zasada dobrego uporządkowania stwierdza, że zbiór liczb całkowitych zawiera element najmniejszy.

Zbiorem dobrze uporządkowanym jest dowolny podzbiór zbioru liczb całkowitych oraz liczb wymiernych, ale nie liczb rzeczywistych.

Dowód poprawności pierwszej zasady indukcji matematycznej opiera się o zasadę dobrego uporządkowania i wykorzystuje technikę sprowadzania do sprzeczności.

Zbiór liczb całkowitych ujemnych jest dobrze uporządkowany.

Pytanie 39 z 90

Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 40 z 90

Obiekty kombinatoryczne $B, A, C$ i $C, A, B$ utworzone ze zbioru $\{A, B, C, D\}$ i są identyczne (nie można ich odróżnić). Podane obiekty mogą być przykładem:

3-elementowej kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

3-elementowej wariacji z powtórzeniami ze zbioru 4-elementowego.

podziału zbioru na dwa podzbiory.

3-elementowej wariacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

3-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru 4-elementowego.

Pytanie 41 z 90

Obiekty $|A, C, D, E|$ i $|B, E, F, F|$ utworzono ze zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$. Kolejność tych obiektów oraz uporządkowanie ich elementów nie są istotne. Obiekty te są przykładem:

dwóch 4-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

podziału zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ na dwa podzbiory.

dwóch 4-elementowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru 6-elementowego.

dwóch 4-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru 6-elementowego.

podziału uporządkowanego zbioru $\{A, B, C, D, E, F\}$ ponieważ elementy w obiektach są ustawione alfabetycznie.

Pytanie 42 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(k,nk)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(n-k,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Jeżeli graf $G$ jest etykietowalny za pomocą etykiet o długości $k>2$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności, to jest on również etykietowalny za pomocą etykiet o długości $l=2, \dots, k-1$ zbudowanych nad alfabetem o dowolnej liczności.

Każdy graf $(\infty, k)$-etykietowalny jest również $(nk,k)$-etykietowalny, gdzie $n$ jest liczbą wierzchołków w grafie.

Grafu niespójnego nie można zaetykietować.

Pytanie 43 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Jeśli szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C, D$, to wówczas $r(x) = r(C) + x r(D)$.

Wielomian szachowy dla obszaru $B$ o wymiarze $n \times n$, postaci $r(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + \dots + r_n x^n$, nie zawiera niezerowych współczynników $r_k$ dla $k > n$, ponieważ nie można ustawić więcej niż $n$ wzajemnie nieatakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$.

W oparciu o wielomian szachowy obszaru $B$ można wyznaczyć wszystkie współczynniki wielomianu szachowego dla dopełnienia tego obszaru $\overline{B}$.

Każda linia pozioma dzieli dowolną szachownicę $B$ na dwa niezależne obszary, niemające wspólnych wierszy ani kolumn.

Dla dowolnej szachownicy $B$, wartość współczynnika $r_1$ jest równa liczbie zabronionych pól obszaru $B$.

Pytanie 44 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż reguły podstawiania.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest zdaniem sprzecznym i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej $p$ (zdania składowego) występującej w zdaniu $P$ zastąpimy zdaniem $R$, to otrzymane zdanie złożone $P_1$ będzie również tautologią.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $R \Rightarrow Q$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Rightarrow R$ i w $P$ zastąpimy dokładnie jedno wystąpienie $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Jeżeli zdanie złożone $P$ zawiera zdanie $Q$, $R$ jest zdaniem takim, że $Q \Leftrightarrow R$ i jeśli w $P$ zastąpimy jedno lub więcej wystąpień $Q$ przez $R$, to otrzymamy zdanie złożone $P_1$ takie, że $P \Leftrightarrow P_1$.

Pytanie 45 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pełna definicja ciągu opisanego zależnością rekurencyjną rzędu $k$-tego musi zawierać wartości $k$ kolejnych (np. początkowych) elementów tego ciągu.

Zależność rekurencyjna postaci $c_{n} a_{n} + c_{n-1} a_{n-1} + \ldots + c_k a_{k} = 0$, gdzie $c_{i}$ dla $i = n, \ldots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_{n} \neq 0$ i $c_{k} \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $r c^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_n = ca_0^n$, $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Pytanie 46 z 90

Pełna poprawna zasada włączania i wyłączania dla 4 zbiorów jest formułą składającą się z:

8 składników.

16 składników, ponieważ należy sprawdzić część wspólną każdego zbioru z każdym.

15 składników.

nieznanej liczby składników, ponieważ ich liczba zależy od liczności tych zbiorów.

4 składników, ponieważ są 4 zbiory.

Pytanie 47 z 90

Wybierz wszystkie poprawne:

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, antysymetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją zwrotną, przechodnią i antysymetryczną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, antysymetryczną, zwrotną i spójną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Relację, która jest jednocześnie relacją przechodnią, symetryczną i przeciwzwrotną w zbiorze $X$ nazywamy relacją liniowo porządkującą zbiór $X$.

Pytanie 48 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dekompzycja wielomianów szachowych jest możliwa tylko i wyłącznie wówczas, jeśli daną szachownicę można podzielić na dwa rozłączne obszary nie mające wspólnych wierszy ani kolumn.

Szachownicę $B$ można zdekomponować, poprzez wybór pewnego pola dopuszczalnego $s$, na dwie szachownice $B^1$ i $B^2$, takie że w $B^1$ niedostępny jest wiersz, a w $B^2$ niedostępna jest kolumna zawierająca pole $s$.

W dowolnym wielomianie szachowym dla szachownicy o wymiarze $n \times n$ wszystkie współczynniki $r_k$ stojące przy $x^k$ dla $k > n$ przyjmują wartość zerową.

Wielomian szachowy $r_f(x) = 1 + r_1 x + r_2 x^2 + ... + r_k x^k + ... + r_n x^n$ to funkcja, której wartość oznacza liczbę możliwych rozmieszczeń $x$ wzajemnie atakujących się wież na szachownicy o wymiarze $n \times n$.

Szachownica $B$ składa się z dwóch niezależnych obszarów $C$ i $D$, to wówczas $r_f(x) = r_C(x) + x r_D(x)$.

Pytanie 49 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow (N^+(x) = N^+(y) \land N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset)$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) = N^+(y)$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^-(x) \cap N^-(y) = \emptyset$.

1-graf $H=(A,U)$ jest grafem sprzężonym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary wierzchołków $x,y \in A$ spełniony jest następujący warunek: $N^-(x) \cap N^-(y) \neq \emptyset \Rightarrow N^+(x) \cap N^+(y) \neq \emptyset$.

Pytanie 50 z 90

Wybierz wszystkie poprawne:

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla pewnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być mniejsza niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma nie może być ani mniejsza, ani większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to ich suma może być większa niż $\binom{n}{2}$.

Jeżeli liczby $b_1, b_2, \dots, b_n$ są wynikiem pewnego turnieju, to dla żadnego $r$, takiego że $2 \leq r \leq n$, nie można wybrać $r$ spośród tych liczb w taki sposób, że suma wybranych liczb jest mniejsza niż $\binom{r}{2}$.

Pytanie 51 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż zdania prawdziwe.

Dla każdego drzewa $G = (V, E)$ zachodzi $|V| = |E| - 1$.

Graf nieskierowany $G = (V, E)$ jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy posiada drzewo rozpinające.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieje dokładnie jedna ścieżka.

W drzewie $G = (V, E)$ między każdą parą wierzchołków $x, y \in V$ istnieją co najmniej dwie ścieżki.

Drzewo $G = (V, E)$ takie, że $|V| \geq 2$, ma co najmniej trzy wierzchołki o stopniu równym 1.

Pytanie 52 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowaną z elementów ze zbioru $\{1, \dots, n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają nazywamy kwadratem łacińskim.

Rozszerzalny prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n-q)$ wierszy, a następnie $(n-p)$ kolumn.

Dla $n$ będącego liczbą pierwszą istnieje dokładnie $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla $n$ będącego potęgą liczby pierwszej co najmniej $n-1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$.

Rozszerzenie dowolnego prostokąta łacińskiego o dodatkowe kolumny jest zawsze możliwe, należy jedynie w każdej nowej kolumnie umieszczać elementy występujące najrzadziej.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ ($p \leq n$, $q < n$) do kwadratu $n \times n$ nie jest możliwe, jeśli dla pewnego elementu $l$ ($1 \leq l \leq n$) liczba jego wystąpień w prostokącie $l(l)$ jest mniejsza od $p + q - n$.

Pytanie 53 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

$k$-wyrazową wariacją z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego nazywamy każdy $k$-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru, a liczba takich wariacji wynosi: $\frac{n!}{(n-k)!}$, gdzie $k < n$ lub $k \geq n$.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami jest równa liczbie $k$-wyrazowych permutacji z powtórzeniami.

$k$-wyrazowa wariacja z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego odpowiada rozmieszczeniu $k$ rozróżnialnych elementów w $n$ rozróżnialnych pudełkach.

Istnieje $b^b$ różnych $b$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $a$-elementowego $(a \leq b$ lub $b < a)$.

Liczba $k$-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego jest nie większa od liczby $k$-wyrazowych wariacji bez powtórzeń.

Pytanie 54 z 90

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ będących podzbiorami zbioru 18-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do dokładnie 3 podzbiorów wynosi:

dokładnie 9.

co najwyżej 9.

dokładnie 3.

co najmniej 9.

nie może być określona.

Pytanie 55 z 90

Zależność rekurencyjna $ (a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 4, a_{n+1} + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0) $ dla $ n \geq 3 $ jest zależnością:

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia czwartego.

niejednorodną.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego.

nieliniową.

Pytanie 56 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Liczby Eulera dotyczą wariacji z powtórzeniami.

Ciąg liczb Fibonacciego jest przykładem zależności rekurencyjnej rzędu trzeciego, ponieważ w zależności rekurencyjnej występują trzy elementy ciągu.

Cykle jedno- i dwu-elementowe są równoważne zbiorom jedno- i dwu-elementowym.

Ciąg liczb harmonicznych pierwszego rzędu jest zbieżny.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju dotyczą podziału zbioru na cykle, a liczby Stirlinga pierwszego rodzaju podziału zbioru na podzbiory.

Pytanie 57 z 90

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, na_{n} + 3a_{n-1} - a_{n-2} = 0 \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością:

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

która nie może być rozwiązywana metodą równania charakterystycznego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

niejednorodną.

nieliniową.

Pytanie 58 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających.

Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$.

Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej.

Pytanie 59 z 90

Zasada indukcji matematycznej jest techniką, która może być zastosowana do dowodzenia twierdzeń $S(n)$:

w których $n$ jest nieujemne.

w których $n$ należy do zbioru liczb całkowitych dodatnich.

dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

dotyczących kolejnych liczb rzeczywistych.

dotyczących liczb wymiernych.

Pytanie 60 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

W ciągu liczby Stirlinga drugiego rodzaju mogą pojawić się liczby nie będące liczbami całkowitymi.

Liczby Fibonacciego są liczbami opisanymi zależnością rekurencyjną rzędu trzeciego, ponieważ w definicji występują trzy elementy ciągu.

Liczby Eulera związane są z liczbą cykli Eulera w grafie.

Liczby harmoniczne rzędu $r$, dla $r > 1$, tworzą ciąg rozbieżny.

Każdej $n$-elementowej permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego odpowiada pewien układ cykli i każdemu układowi cykli odpowiada pewna $n$-elementowa permutacja bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego.

Pytanie 61 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

W oparciu o twierdzenie Zeckendorfa można stworzyć system liczbowy, w którym dowolna liczba rzeczywista dodatnia może być przedstawiona jako $\sum_{k=0}^{m} b_k F_k$, gdzie $b_k \in \{0,1\}$, a $F_k$ oznacza liczbę Fibonacciego.

Liczby Eulera drugiego rzędu $\left\langle\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle\right\rangle$ oznaczają liczbę dowolnych permutacji z powtórzeniami ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wniesień takich, że pomiędzy poszczególnymi wystąpieniami pewnej liczby znajdują się tylko liczby większe od niej.

Liczby harmoniczne drugiego rzędu $H_n^{(2)}$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$.

Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywane przez nią rozmieszczenie obiektów w cyklach jest niemożliwe.

Wyrażenia postaci $x(n, n) = 1, n \geq 0$ oraz $x(n, 0) = 0, n > 0$ są składnikami definicji rekurencyjnej liczb Stirlinga zarówno pierwszego ($x = s$), jak i drugiego rodzaju ($x = S$).

Pytanie 62 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich relacji.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy spójną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, z \rangle \in \rho$ implikują warunek $\langle x, z \rangle \in \rho$ dla każdych trzech elementów $x, y, z$ zbioru $X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy zwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \notin \rho$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy z warunku $\langle x, y \rangle \in \rho$ wynika warunek $\langle y, x \rangle \in \rho$ dla każdego $x, y \in X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy antysymetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy warunki $\langle x, y \rangle \in \rho$ i $\langle y, x \rangle \in \rho$ pociągają za sobą warunek $x = y$ dla każdej pary $x, y$ elementów zbioru $X$.

Relację $\rho \subset X \times X$ nazywamy przeciwzwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x \in X$ spełniony jest warunek $\langle x, x \rangle \in \rho$.

Pytanie 63 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest możliwe tylko wówczas, jeśli liczba wystąpień poszczególnych elementów spełnia warunek $l(i) > p + q - n$ dla każdego $i = 1, ..., n$.

Macierz o wymiarze $p \times p$ zbudowana z elementów ze zbioru $\{1, ..., n\}$, gdzie $p < n$, w której w żadnym wierszu i kolumnie elementy się nie powtarzają jest prostokątem łacińskim.

Dla $n$ będącego liczbą pierwszą lub potęgą liczby pierwszej istnieje co najwyżej $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$, a dla pozostałych wartości $n$ istnieje dokładnie $n - 1$ wzajemnie ortogonalnych kwadratów łacińskich o wymiarze $n \times n$.

Rozszerzenie prostokąta łacińskiego $p \times q$ do kwadratu $n \times n$ jest zawsze możliwe i wymaga wyznaczenia transwersali rodziny zbiorów zawierających elementy nie występujące dotychczas odpowiednio w poszczególnych wierszach i kolumnach.

Prostokąt łaciński $p \times q$ rozbudowuje się do kwadratu łacińskiego $n \times n$ przez dopisanie najpierw $(n - p)$ wierszy zbudowanych z dowolnej transwersali, a następnie $(n - q)$ kolumn zbudowanych ze specyficznej transwersali zawierającej zbiór $P$.

Pytanie 64 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Liczby Eulera związane są z liczbą $k$-elementowych podzbiorów zbioru $n$-elementowego.

Liczby Fibonacciego są przykładem zależności rekurencyjnej rzędu drugiego niejednorodnej.

Za pomocą liczb Stirlinga pierwszego rodzaju $s(n, k)$, $k = 0, 1, \dots, n$, można obliczyć wartość funkcji $n!$.

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju związane są ze zliczaniem $k$-elementowych permutacji ze zbioru $n$-elementowego.

Ciąg liczb harmonicznych jest zbudowany z liczb całkowitych.

Pytanie 65 z 90

Niech $G=(V_1, V_2, E)$ będzie grafem dwudzielnym. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest podzbiór zbioru $V_1$ zawierający wszystkie wierzchołki o stopniu parzystym.

Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_1$.

Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_2|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych.

Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór z tych krawędzi, które oba wierzchołki końcowe mają w zbiorze $V_2$.

Skojarzeniem z $V_1$ do $V_2$ w $G$ jest zbiór złożony z $|V_1|$ krawędzi, które nie mają wspólnych wierzchołków końcowych.

Pytanie 66 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Symbol $N(c_i c_j)$ występujący w zasadzie włączania i wyłączania oznacza liczbę elementów ze zbioru $S$ spełniających warunki $c_i \land c_j$ i równocześnie niespełniających pozostałych warunków $c_k$ ($1 \leq i, j \leq t$, $k \neq i$, $k \neq j$).

Zasada włączania i wyłączania mówi, że liczba elementów pewnego zbioru $S$, $|S| = N$, które nie spełniają żadnego z warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, jest równa $N = N - N(c_1) - N(c_2) - ... - N(c_t)$, gdzie $N(c_i)$ oznacza liczbę elementów $S$ spełniających warunek $c_i$.

Zasada włączania i wyłączania w postaci alternatywnej dotyczy pewnego zbioru $S$, dla którego zdefiniowane są warunki $c_i$, $1 \leq i \leq t$, które muszą być spełnione przez wszystkie elementy zbioru $S$.

Dowód zasady włączania i wyłączania w postaci alternatywnej jest oparty o prawa teorii mnogości.

Zasada włączania i wyłączania dla zbioru $S$ i warunków $c_i$, $1 \leq i \leq t$, spełnionych przez pewne elementy ze zbioru $S$ ma postać: $N(\overline{c_1, c_2, \dots, c_t}) = |S| - \sum_{1 \leq i \leq t} N(c_i) + \sum_{1 \leq i < j \leq t} N(c_i, c_j) - \sum_{1 \leq i < j < k \leq t} N(c_i, c_j, c_k) + ... + (-1)^t N(c_1, c_2, \dots, c_t)$.

Pytanie 67 z 90

Niech $a, b, c \in \mathbb{Z}$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

$a|b \Rightarrow a|x^b$ dla każdego $x \in \mathbb{Z}$.

$[(a|b) \land (b|c)] \Rightarrow c|a$.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow (bx + cy)|a$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

$[(a|b) \land (a|c)] \Rightarrow a|(bx + cy)$ dla wszystkich $x, y \in \mathbb{Z}$.

Jeżeli $x = y + z$ dla pewnych $x, y, z \in \mathbb{Z}$ oraz $a$ dzieli dwie z trzech liczb $x, y, z$, to $a$ dzieli również trzecią z tych liczb.

Pytanie 68 z 90

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 0, a_1 = 3, a_2 = 4, a_{n+1} = 3a_{n-2} = 3n \text{ dla } n \geq 2)$ jest zależnością rekurencyjną:

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu drugiego niejednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego niejednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu pierwszego jednorodną.

liniową ze stałymi współczynnikami rzędu trzeciego jednorodną.

Pytanie 69 z 90

Zależność rekurencyjna $(a_0 = 1, a_1 = 2, a_2 = 3, a_n + 5a_{n-1} - 4a_{n-3} = 0 \text{ dla } n \geq 3)$ jest zależnością:

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem stopnia trzeciego.

nieliniową.

która nie może być rozwiązana metodą równania charakterystycznego.

dla której równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym.

niejednorodną.

Pytanie 70 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż definicje odpowiednich funkcji.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = y^{-1}$.

Funkcją odwrotną do funkcji $f: X \to Y$ jest taka funkcja $f^{-1}$, która każdemu elementowi $y \in Y$ przyporządkowuje element $x \in X$ taki, że $f(x) = x$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $X$ na zbiór $Y$.

Funkcję różnowartościową $f: X \to Y$, która przekształca zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym zbioru $Y$ na zbiór $X$.

Pytanie 71 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Dowód kroku indukcyjnego w pierwszej zasadzie indukcji matematycznej wymaga wykazania prawdziwości zdania $S(k)$ i prawdziwości zdania $S(k+1)$ dla pewnej liczby $k \geq 1$.

Dowód pierwszej zasady indukcji matematycznej nie dowodzi poprawności drugiej zasady indukcji matematycznej, ponieważ jest ona inaczej sformułowana.

Pierwsza i druga zasada indukcji matematycznej są sobie równoważne tylko dla pewnego rodzaju twierdzeń.

Drugą zasadę indukcji matematycznej można zastosować do dowodzenia twierdzeń dotyczących liczb całkowitych dodatnich, w których prawdziwość zdania $S(n)$ dla $n=k+1$ wynika z prawdziwości kilku zdań poprzedzających.

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego ze zdań poprzedzających.

Pytanie 72 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Każdy pierwiastek pojedynczy $r$ równania charakterystycznego wprowadza do rozwiązania liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej ze stałymi współczynnikami rzędu $k \geq 2$ czynnik $rc^n$, gdzie $c$ jest pewną stałą, którą można wyznaczyć w oparciu o początkowe wyrazy ciągu.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + \dots + c_k a_k = 0$, gdzie $c_i$ dla $i = n, \dots, k$ są pewnymi stałymi rzeczywistymi, $c_n \neq 0$ i $c_k \neq 0$ nazywamy liniową jednorodną zależnością rekurencyjną rzędu k-tego ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie problemu wież z Hanoi, $T_n = 2T_{n-1} + 1, n > 0, T_0 = 0$, jest przykładem niejednorodnej liniowej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami postaci $a_{n+1} + ca_n = 0$ jest dane wzorem $a_n = ca_0^n$, gdzie $c$ oznacza pewną stałą i $n \in \mathbb{N}$.

Rozwiązanie zależności liniowej jednorodnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o jednym pierwiastku podwójnym ma postać $a_n = c_1 r^n + c_2 n r^n$, gdzie wartości stałych $c_1$ i $c_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Pytanie 73 z 90

Niech $H$ będzie grafem sprzężonym pewnego grafu $G$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje obwód Eulera.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje droga Eulera.

W grafie $G$ istnieje cykl Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje ścieżka Hamiltona wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje cykl Hamiltona.

W grafie $G$ istnieje droga Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy w grafie $H$ istnieje ścieżka Hamiltona.

Pytanie 74 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Zasada włączania i wyłączania umożliwia obliczenie liczności części wspólnej $n$ zbiorów $A_1, A_2, ..., A_n$ w oparciu o liczności sum zbiorów z rodziny $\{A_1, A_2, ..., A_n\}$.

Zasadę włączania i wyłączania można zastosować wyłącznie do obliczenia liczności sumy zbiorów, których części wspólne nie są zbiorami pustymi; zasady tej nie można zastosować dla zbiorów rozłącznych.

Zasada włączania i wyłączania jest uogólnieniem prawa iloczynu dla więcej niż dwóch zbiorów skończonych.

Zasada włączania i wyłączania ma postać: $ \left| \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$

Zasadę włączania i wyłączania stosuje się do obliczenia liczności sumy pewnej liczby zbiorów w sytuacji, gdy nie można wyznaczyć elementów należących do tej sumy.

Pytanie 75 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe:

Pierwszą zasadę indukcji matematycznej stosuje się do dowodzenia twierdzeń, w których prawdziwość pewnego zdania wynika z prawdziwości jednego, dowolnego ze zdań poprzedzających.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla pewnego $n_0 \in \mathbb{Z}^{+}$ ma postać: $[S(n_0) \land [\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k+1)]]] \implies \forall_{n \geq 1} S(n)$.

Pierwsza zasada indukcji matematycznej dla $n_0 = 1$ ma postać: $[(\forall_{k \geq 1} [S(k) \implies S(k + 1)]) \land S(1)] \implies \forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$.

Jeśli pewne twierdzenie $\forall_{n \in \mathbb{Z}^{+}} S(n)$ nie jest prawdziwe dla pewnych początkowych wartości $n \geq 1$, to może ono być udowodnione z wykorzystaniem drugiej zasady indukcji matematycznej.

Zasada indukcji matematycznej może być wykorzystana do dowodzenia twierdzeń dotyczących dowolnych liczb dodatnich.

Pytanie 76 z 90

Wskaż zdania będące definicjami izomorfizmu grafów:

Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_1$.

Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_2$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$.

Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$.

Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{x, y\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \notin E_2$.

Funkcja $f: V_1 \rightarrow V_2$ jest izomorfizmem grafów, jeżeli $f$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną oraz dla każdej pary wierzchołków $x, y \in V_1$, $\{f(x), f(y)\} \in E_1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\{f(x), f(y)\} \in E_2$.

Pytanie 77 z 90

Wybierz wszystkie poprawne:

Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to największy podgraf pełny tego grafu.

Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to jego drzewo rozpinające.

Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to ścieżka przechodząca przez wszystkie jego wierzchołki.

Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to droga przechodząca przez wszystkie jego krawędzie.

Skojarzenie w grafie $G=(V,E)$ jest to zbiór krawędzi, z których żadne dwie nie mają wspólnego wierzchołka końcowego.

Pytanie 78 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

$1$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

$0$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

$2$ jest najmniejszą liczbą pierwszą.

$5$ i $10$ są liczbami względnie pierwszymi.

$2$ i $3$ są liczbami względnie pierwszymi.

Pytanie 79 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe.

Z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to średnia liczność tych zbiorów wynosi $\frac{|S|}{k}$.

Zasada szufladkowa Dirichleta mówi, że jeśli skończony zbiór $S$ jest podzielony na $k$ rozłącznych niepustych podzbiorów, to każdy z tych podzbiorów zawiera $\lceil |S| / k \rceil$ elementów lub więcej.

Dowód zasady szufladkowej Dirichleta wykorzystuje pojęcie uporządkowanego podziału zbioru.

„Klasyczna” zasada szufladkowa Dirichleta w żaden sposób nie wynika z uogólnionej zasady szufladkowej Dirichleta, ponieważ dotyczy zbiorów o odmiennych własnościach.

Uogólniona zasada szufladkowa Dirichleta określa wartość średniej arytmetycznej liczb elementów zbiorów $A_1, ..., A_k$ będących rozłącznymi podzbiorami pewnego skończonego zbioru $S$.

Pytanie 80 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe:

Transwersalą rodziny zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest zbiór $Y = (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n) \setminus (A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n)$, którego elementy mogą zostać zapisane w pewnym porządku.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \geq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$.

Rodzina zbiorów $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy $|\bigcup_{i \in I} A_i| \geq |I|$ dla wszystkich $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Jeżeli $\mathcal{A} = (A_1, A_2, \dots, A_n)$ jest rodziną zbiorów, a $P \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n$, to $\mathcal{A}$ ma transwersalę, która zawiera zbiór $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathcal{A}$ ma transwersalę oraz $|P \setminus (\bigcup_{i \in I} A_i)| \leq n - |I|$ dla każdego $I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$.

Pytanie 81 z 90

Zaznacz zdania prawdziwe

Liczba podziałów zbioru $S$ może być zapisana za pomocą współczynnika wielomianowego.

Jeśli rodzina zbiorów $\{A_1, A_2, ..., A_k\}$ jest podziałem zbioru $S$, to $S = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k$.

Uporządkowany podział zbioru, to podział zbioru na podzbiory, taki że elementy w tych podzbiorach są uporządkowane rosnąco.

Wszystkie podziały pewnego zbioru $n$-elementowego można wygenerować za pomocą generacji wszystkich liczb binarnych z zakresu od $0$ do $2^n-1$.

Podziałem zbioru nazywamy każdą rodzinę pewnych niepustych rozłącznych podzbiorów zbudowanych z pewnych elementów tego zbioru.

Pytanie 82 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $0, 1, 2, 3, 4, \dots$.

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 5x^4 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

$x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb $1, 2, 3, 4, 5, \dots$.

Pytanie 83 z 90

Niech dana będzie przestrzeń $U$ oraz pewien jej podzbiór $A$. Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \setminus U$.

Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór zawierający te elementy przestrzeni $U$, które nie należą do $A$.

Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cap U$.

Zbiór potęgowy zbioru $A$ jest to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru $A$.

Dopełnienie zbioru $A$ jest to zbiór $A \cup U$.

Pytanie 84 z 90

Wskaż definicję relacji równoważności:

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest spójną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, antysymetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Relację $\rho \subseteq X \times X$, która jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią, nazywamy relacją równoważności.

Pytanie 85 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe:

Liczby Stirlinga drugiego rodzaju opisujące liczbę sposobów podziału zbioru $n$-elementowego na $k$-niepustych podzbiorów są nie mniejsze niż liczby Stirlinga pierwszego rodzaju opisujące liczbę sposobów rozmieszczenia $n$ elementów w $k$ cyklach.

Liczby harmoniczne $H_n$ są dyskretnym odpowiednikiem funkcji $f(x) = \frac{1}{x}$ i tworzą ciąg liczbowy rosnący logarytmicznie wolno dla $n \to \infty$.

Liczby Eulera pierwszego rzędu $\left\langle \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\rangle$ oznaczają liczbę $n$-elementowych permutacji bez powtórzeń ze zbioru $n$-elementowego zawierających $k$ wzniesień.

Twierdzenie Zeckendorfa stwierdza, iż każda liczba całkowita dodatnia $n$ może być jednoznacznie przedstawiona w postaci iloczynu pewnych liczb Fibonacciego i zapisana w postaci odpowiedniego ciągu zer i jedynek.

Z definicji przyjmuje się, że liczba Stirlinga drugiego rodzaju $S(n,n) = 1$ dla $n \geq 0$, ponieważ opisywany przez nią podział jest niemożliwy.

Pytanie 86 z 90

Średnia liczność zbiorów $A_1, A_2, A_3, A_4$ będących podzbiorami zbioru 8-elementowego $S$, takimi, że każdy element $S$ należy do co najmniej 3 podzbiorów wynosi:

co najwyżej 6.

co najwyżej 3.

co najmniej 8.

dokładnie 6.

co najmniej 6.

Pytanie 87 z 90

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Rozwiązanie liniowej jednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami o równaniu charakterystycznym o dwóch różnych pierwiastkach, ma postać $a_n = c_1 x_1^n + c_2 x_2^n$ gdzie $x_1$ i $x_2$ są wyznaczane w oparciu o początkowe elementy ciągu.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu pierwszego ze stałymi współczynnikami, postaci $a_{n+1} + c a_n = f(n)$ jest dane wzorem: $a_n = a_0 d^n$ gdzie $d_0$ i $d$ oznaczają pewne stałe, $n \in \mathbb{N}$.

Zależność postaci $c_n a_n + c_{n-1} a_{n-1} + c_{n-2} a_{n-2} + c_{n-3} a_{n-3} = 0$, gdzie $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}, c_{n-3}$ są pewnymi stałymi, $c_n \neq 0$ i $c_{n-3} \neq 0$, jest liniową zależnością rekurencyjną jednorodną rzędu trzeciego i może być rozwiązana za pomocą równania charakterystycznego stopnia trzeciego.

Wyznaczenie wzoru jawnego jest możliwe dla ciągów liczbowych opisanych jedynie zależnościami rekurencyjnymi jednorodnymi.

Rozwiązanie liniowej niejednorodnej zależności rekurencyjnej rzędu drugiego ze stałymi współczynnikami, ma postać $ a_n = c_1 r_1^n + c_2 r_2^n$ lub $a_n = c_1 r_1^n + c_2 n r^n$ w zależności od liczby różnych pierwiastków równania charakterystycznego.

Pytanie 88 z 90

Zaznacz funkcję tworzącą, która może być wielomianem szachowym pewnej szachownicy o wymiarze 5×5:

$r_B(x) = 0 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 27x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 2 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 75x^2 + 145x^3 + 96x^4 + 12x^6$

Pytanie 89 z 90

Wśród poniższych zdań wskaż wszystkie zdania prawdziwe.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + \frac{a_2 x^2}{2!} + \frac{a_3 x^3}{3!} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{a_i x^i}{i!}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = \frac{1}{a_0} + \frac{x}{a_1} + \frac{2! x^2}{a_2} + \frac{3! x^3}{a_3} + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{i! x^i}{a_i}$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0^0 + a_1 x^1 + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest wykładniczą funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0 x_0, a_1 x_1, a_2 x_2, a_3 x_3, \dots$.

Funkcja $f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots = \sum_{i=0}^{\infty} a_i x^i$ jest funkcją tworzącą sekwencji liczb rzeczywistych $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$.

Pytanie 90 z 90

Zaznacz funkcję tworzącą, która $\textbf{może być}$ wielomianem szachowym $\textbf{dopełnienia}$ podanej szachownicy $B$:

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^6$

$r_B(x) = 1 + 10x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 25x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

$r_B(x) = 1 + 15x + 35x^2 + 50x^3 + 26x^4 + 4x^5$

Losowa kolejność Reset Start

Korzystanie z serwisu wiąże się z akceptacją regulaminu